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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Formel für Potenz einer speziellen 2x2-Dreiecksmatrix
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Universität/Hochschule Formel für Potenz einer speziellen 2x2-Dreiecksmatrix
yann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 521
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16 16:59


Hallo,
Angenommen man hat zwei Elemente $x,y$ eines nicht-kommutativen Ringes $R$.
Hat jemand eine Idee für eine geschlossene Formel für das Element $z_n$, welches durch die Gleichung
$$\begin{pmatrix} x & y\\
0 & x\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} x^n & z_n\\
0 & x^n\end{pmatrix}$$
definiert ist?

Das würde mir bei einem bestimmten Problem sehr weiterhelfen. Im Falle, dass $R$ Charakteristik $p$ hätte, so würde $z_p$ wahrscheinlich von der Form $ad\;x^{p-1}(y)$ sein, wobei
$$ad\;x:R\to R,\;y\mapsto xy-yx$$


viele Grüsse,
yann



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45899
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16 17:06


Hi yann,
für einen kommutativen Ring kann man zn angeben:
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2128
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-16 17:06


Hallo,

hast du schon mal test weise

$\begin{pmatrix} x& y\\ 0&x\end{pmatrix}^2$

$\begin{pmatrix} x& y\\ 0&x\end{pmatrix}^3$

$\begin{pmatrix} x& y\\ 0&x\end{pmatrix}^4$

berechnet und versucht eine Formel für dein $z_n$ zu raten?
Wenn es dir gelingt, könntest du dies dann induktiv beweisen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Primentus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 965
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-16 17:08


Hallo yann,

es gilt:

$z_{n}=n\cdot x^{n-1}\cdot y$

LG Primentus

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Creasy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 238
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-16 17:19


@Primentus:
Dafür benutzt da aber vermutlich, dass $xy=yx$, was hier nicht unbedingt gegeben ist.
Ein paar Potenzen ausrechnen hilft.

Hier stand noch etwas Falsches :)



-----------------
Smile (:



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45899
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-16 17:24


Hi Creasy,
deine Formel stimmt leider nicht.
Gruß Buri



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Creasy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 238
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-16 17:28


Ah ich seh meinen Fehler :)
Danke ich hab was anderes ausgerechnet..



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Primentus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.02.2016
Mitteilungen: 965
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-16 17:29


Hallo Creasy,

ich habe einige Potenzen durchgerechnet und komme dabei auf die allgemeine Formel, die ich angegeben habe.

Ein $t$, wie Du es in der Matrix verwendest, kommt gar nicht vor.

LG Primentus

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1276
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-16 17:31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

es ist $z_{n+1}=x^ny+z_nx$.
Daran sieht man, dass $z_n= x^{n-1}y+x^{n-2}yx+x^{n-3}yx^2+\ldots + xyx^{n-2}+yx^{n-1}$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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yann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 521
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17 19:37


Danke,
also gilt $z_n=\sum_{j=0}^{n-1}x^jyx^{n-1-j}$. Interessant wäre noch zu wissen, dass im Falle $char(R)=p$ die Gleichheit
$$z_p=ad\;x^{p-1}(y)$$
gilt. Ich habe das bereits für p=2,3,5 ausgerechnet und es scheint zu stimmen. Bekannt ist mir auch, dass folgende Gleichung stimmt (gilt ganz allgemein für beliebige Potenzen von $ad\;x$, nicht nur für p-1)
$$ad\;x^{p-1}(y)=\sum_{j=0}^{p-1}(-1)^{p-1-j}\binom{p-1}{j}x^jyx^{p-1-j}$$
Wahrscheinlich gilt $(-1)^{p-1-j}\binom{p-1}{j}\equiv 1\;mod\;p$, hat da jemand einen Ansatz?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1276
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-17 20:04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Deine Vermutung ist richtig und lässt sich mit dem Satz von Wilson beweisen.

Edit: Bei genauerem Hinsehen ist mir aufgefallen, dass man den Satz von Wilson gar nicht braucht. Der Zähler des Binomialkoeffizienten ist $(p-1)!$. Wenn man scharf hinsieht, sieht man, dass der entsprechende Nenner $j!(p-1-j)!$ modulo $p$ auch gleich $\pm(p-1)!$ ist. Details überlasse ich erstmal dir.
\(\endgroup\)


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