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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Menge aller Polynome mit bestimmter Matrix als Nullstelle
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Universität/Hochschule Menge aller Polynome mit bestimmter Matrix als Nullstelle
Joachim_221
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16 18:29


Guten Tag :)

Ich soll folgende Menge für eine bestimmte Matrix A bestimmen:
{\(p \in \mathbb{R}[X]\) | \(p(A) = 0\)}

Mein Problem ist, dass ich keinen Ansatz habe, wie ich anfangen könnte. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man bei so einer Aufgabe beginnt?

Vielen Dank im Voraus :)



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qwertzusername
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1282
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16 18:39


Hallo,

mein genereller Tipp wenn man nicht weiß wie man anfangen soll:
Rumprobieren.

Hier würde ich mit der konkreten Matrix mal ein paar Potenzen ausrechnen und sehen ob ich algebraische Zusammenhänge sehe.




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zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-16 18:46


2019-05-16 18:29 - Joachim_221 im Themenstart schreibt:
Ich soll folgende Menge für eine bestimmte Matrix A bestimmen:
{\(p \in \mathbb{R}[X]\) | \(p(A) = 0\)}

Ist dir klar, dass das von dem Minimalpolynom von $A$ erzeugte Hauptideal ist?

Falls ja: Wie man ein Minimalpolynom ausrechnet, sollte bekannt sein.



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Joachim_221
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.04.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 19:08


Danke! Der Zusammenhang mit dem Minimalpolynom war mir nicht bekannt! Gehe ich recht in der Annahme, dass alle Polynome, die durch das Minimalpolynom der Matrix A geteilt werden, A als Nullstelle haben?



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zippy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 263
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-16 21:37


2019-05-16 19:08 - Joachim_221 in Beitrag No. 3 schreibt:
Gehe ich recht in der Annahme, dass alle Polynome, die durch das Minimalpolynom der Matrix A geteilt werden, A als Nullstelle haben?

Die Frage solltest du dir eigentlich selbst beantworten können, wenn du dich an die Eigenschaften erinnerst, die das Minimalpolynom definieren.

Vielleicht helfen ein paar Stichworte weiter: $\mathbb R[X]\to\mathbb R[A]$, $p\mapsto p(A)$ ist ein Homomorphismus zwischen kommutativen Ringen. Und $\mathbb R[X]$ ist ein Hauptidealring.



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