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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Charakterisierung eines Isomorphismus
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Autor
Universität/Hochschule J Charakterisierung eines Isomorphismus
Maximizor
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.05.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16 20:19


Hallo allerseits,

ich sitze gerade am Beweis einer Aussage. Deren Bedeutung ist mir anschaulich klar, bloß schaffe ich nicht so recht, den Beweis vernünftig zu formalisieren. Die Aufgabe lautet:

Seien \(V, W\) Vektorräume und \((v_1, ..., v_n)\) eine Basis von \(V\). Zeigen Sie, dass \(L: V \rightarrow W \) genau dann ein Isomorphismus ist, wenn \((Lv_1 , ..., Lv_n)\) eine Basis von \(W\) ist.

Ich wäre Euch sehr verbunden, wenn ihr mir ein paar Hinweise geben könntet, sodass ich mit Eurer Hilfe den Beweis führen kann.

Viele Grüße!
Maximizor



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Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 372
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16 20:31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Maximizor,

ich nehme an, es sollte noch die Zusatzbedingung für $L$ gelten, dass $L$ linear ist.
Und jetzt: ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Lineare Abbildungen sind gerade Vektorraumhomomorphismen. Du musst also nur zeigen, dass $L$ genau dann bijektiv ist, wenn $(Lv_1,\dots, Lv_n)$ eine Basis von $W$ ist.
\(\endgroup\)


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Maximizor
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 20:41


Hallo Vercassivelaunos,

in der Tat, \(L \) soll natürlich linear sein.

Mir ist nicht ganz klar, wie ich die Bijektivität nachweisen kann... Hast du einen Tipp für mich?

VG
Maximizor



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2544
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-16 20:43


Wenn die Aussage dir anschaulich klar ist und du nur Probleme beim Formalisieren hast, solltest du doch eigentlich eine Idee haben, und wir helfen dir dann beim Formalisieren.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Maximizor
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Dabei seit: 16.05.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16 21:05


Ich meine, dass mir die Konsequenz der Aussage klar ist...

Also wie folgt: Wenn die Abbildung bijektiv ist, gibt es eine Umkehrabbildung, die die Basis von \(W \) genau auf die Basis von \(V \) abbildet.

Zur Surjektivität:

Ich erkenne, dass für alle Vektoren \(w \) in \(W \) ein Vektor \(v \) in \(V \) existiert mit \(w= Lv\). Denn: \(B:=(v_1, ..., v_n)\) ist eine Basis und es gilt daher per definitionem \(Span \; B = V \) und wegen der Linearität von \( L \) lässt sich der Vektor \(w=L(\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n) \) auch als Linearkombination der Basisvektoren von \(W\) abbilden: \(w=\alpha_1 L v_1 + ... + \alpha_n L v_n \).

Zur Injektivität:

Sei wieder \(v \) in \(V \). Folglich lässt sich \(v \) eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen durch: \(v=\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n \). Sei nun wieder  \(w \) in \(W \) folglich gegeben durch \(w=L(\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n) \). Wegen der Linearität kann man das anders schreiben als \(w=\alpha_1 L v_1 + ... + \alpha_n L v_n \). Die einzelnen \(Lv_i \) sind aber nichts anderes als die Basisvektoren von \(W \), also haben wir \(w \) als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben und diese ist eindeutig. Also gilt die Injektivität für alle \(v_1, v_2 \in V : Lv_1 = Lv_2 \Rightarrow v_1 = v_2\).


Ich glaube, ich bringe hier noch einiges durcheinander... Könnt ihr damit was anfangen?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 372
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-17 00:17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Im Prinzip hast du es doch. Die Surjektivität würde ich andersherum aufziehen, also dass jedes $w\in W$ darstellbar ist als $w=\alpha_1Lv_1+\dots$, was das Bild von $v=\alpha_1v_1+\dots$ ist.
Die Injektivität kann auch so stehenbleiben. Nur der letzte Satz ist sprachlich falsch: Injektivität ist keine Eigenschaft von Vektoren, sondern von ganzen Abbildungen. Der Satz "Injektivität gilt für $v_1$ und $v_2$" macht also in der Form keinen Sinn. Das solltest du umformulieren.

Und dann noch die Umkehrung: Wenn $L$ bijektiv ist, dann ist $(Lv_1,\dots Lv_n)$ eine Basis.

Übrigens: Du hättest dir auch entweder die Injektivität oder Surjektivität sparen können. Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension ist nämlich genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist.
\(\endgroup\)


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Maximizor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17 10:04


Ich habe es eben hinbekommen, vielen Dank!



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