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Analysis » Funktionen » Taylorentwicklung und Legendre-Polynome
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Universität/Hochschule J Taylorentwicklung und Legendre-Polynome
Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-17


Hallo Community,
ich lese zur Zeit ein paper, und dort wird eine Funktion taylorentwickelt und man erhält als Koeffizienten der Entwicklung eine Differenz zweier Legendre Polynome.
Hier der entsprechende Ausschnitt aus dem paper (insbesondere A(11) und A(12)):

Ich habe die Entwicklung bis n=2 mal ausgerechnet, um zu sehen, ob die Gl. stimmt und das tut sie anscheinend. Allerdings fehlt mir jeglicher Ansatz, um diese Entwicklung zu zeigen. Vielleicht kann man das mit der Erzeugenden der Legendre Polynome zeigen? Hat jemand von euch einen Ansatz oder gar den kompletten Beweis?
Das paper: C. A. Moyer, Am. J. Phys. 72, 351 (2004)
Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.
VG
Law



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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-18


Hi,

ich habe nicht den kompletten Beweis vor Augen, aber es sieht vielversprechend aus, $\sqrt{1-2\mu x+x^2}$ nach $x$ abzuleiten, das mit der Erzeugenden anzuwenden, und dann wieder zu integrieren.



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Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


Vielen Dank erst mal für deine Antwort allerdings habe ich dazu noch ein paar Fragen.
Wenn ich den Ausdruck \(\sqrt{1-2\mu x+x^2}\) nach x ableite erhalte ich \(\frac{1}{2}\cdot \sum_{n=0} ^\infty P_n(\mu)\cdot x^n\cdot(-2\mu+2x)\) und diesen Ausdruck soll ich nun wieder nach x intergrieren? Dazu benötige ich doch die Stammfunktion des Legendre Polynoms?



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-18


Wieso? $\mu$ ist doch eine Konstante.



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Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Irgendwie erscheint mir dieser Weg nicht ganz richtig zu sein.
\(\frac{d}{dx}\sqrt{1-2\mu x+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(P_n(\mu)x^{n+1}-P_n(\mu)x^n\mu) \)
Wenn ich diesen Ausdruck nun integriere erhalte ich:
\(\sum_{n=0}^\infty(P_n(\mu)\frac{1}{n+2}x^{n+2}-P_n(\mu)\mu\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)
Dies soll erscheint mir nicht ganz richtg. Wie soll man hier auf die Differenz zweier verschiedener Legendre-Polynome kommen und wie verschwindet das \(\mu\)?



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Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Ich habe es jetzt hinbekommen. Habe einfach zunächst den Wurzelausdruck nach \(\mu\) abgeleitet und anschließend wieder integriert.



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