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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Induktion (Summe) - Probleme bei Umformung.
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Schule J Induktion (Summe) - Probleme bei Umformung.
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Hallo!

Ich poste zu erst ein Bild, welches die Aufgabenstellung zeigt und mein Vorgehen bis es an das Umformen geht (letzteres habe ich bereits auf einem "Schmierblatt" immer wieder versucht, aber ich komme nicht auf das Ergebnis:




Es bringt jetzt auch nichts meine Versuche vorzurechnen, weil ich wirklich nie "solide rauskomme".
Aber in Worten:
Ich seh schon, dass (n+1)² eine bin. Formel ist.
Auch habe ich bei (-1)^n+1 und auch bei (-1)^n+2 Potenzgesetze angewendet.
Jedoch komm ich da einfach nicht auf "einen grünen" Zweig, egal wie ich es angegangen bin.
Wäre wirklich dankbar, wenn mir Jemand bei der Umformung konkret helfen könnte, dann würde ich es versuchen nachzuvollziehen und ggf. Fragen stellen können, wenn mir eure Umformungsschritte nicht klar wären.

Lg,
Zrebna



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-18


Hey,

das sieht doch schon sehr gut aus. Schau dir an, worauf du hinarbeiten willst und überlege, wie du dahin kommst.. der nächste Schritt wäre also:
$=(-1)^{n+2}\left( -\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)^2\right) $.

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Hi!

Ich versuche gerade noch deinen ersten Schritt nachzuvollziehen.
Zuerst dachte ich, dass du einfach damit begonnen hast den Teilterm ganz rechts nach links zu setzen.
Jedoch funktioniert ja in der gesamten Formel Kommutativität nicht überall einfach so, weil es ja insgesamt eine Summe ist ('+' dazw.).
Daher hast du wohl mit dem Distributivgesetz gearbeitet und letztlich
fed-Code einblenden

Weiter mit:

fed-Code einblenden

Nun fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Ich pausiere hier, um nicht pot. Verwirrung zu stiften, weil ich ab da wieder erneute Probleme beim Umformen hatte.

Daher erste Frage:
Ist dies so weit überhaupt richtig?
Wie würdest du nun da weitermachen?
Du scheinst auf den ersten Blick einfach (n * (n+1))/2  mit (-1) multipliziert zu haben  - aber, da dies etliche Rechengesetze verletzen würde, hast du sicher etwas anderes gemacht, was ich nicht sehe.

Folgende Auflösung könnte ich noch nachvollziehen:
fed-Code einblenden

Aber so sieht ja dein Endergebnis bzgl. dem ersten Schritt nicht aus.
Wäre für weitere Hilfe dankbar:)

Lg,
Zrebna



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-19


Hallo,

es ist alles richtig bisher. Jetzt musst du das noch in die gewünschte Form bringen.

Dieser Hinweis von Creasy:
2019-05-18 11:41 - Creasy in Beitrag No. 1 schreibt:
...Schau dir an, worauf du hinarbeiten willst und überlege, wie du dahin kommst...

ist generell für Induktionsbeweise sehr wichtig.



Gruß, Diophant



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Hi!

Glaube es hat nun geklappt:

Ziel ist:
fed-Code einblenden


Ausgehend von der Stelle, an der ich pausiert habe, nun so weiter:
fed-Code einblenden

Auch der linke Teilterm ist im Zähler mit Nenner 2 - ich bekomm es mit dem formeleditor nicht ganz hin...


Aufgelöst dann:
fed-Code einblenden

weiter:
fed-Code einblenden

weiter mit:
fed-Code einblenden


Dann:
fed-Code einblenden

Negatives Vorzeichen mit (-1)* darstellen, so dass man später auf (-1) das Potenzgesetz anwenden kann:


fed-Code einblenden

Nun haben wir nur noch Multipl.-Zeichen -> AG kann Anwendung finden und direkt danach Potenzgesetz - ergibt:

fed-Code einblenden

ergibt nun schliesslich:
fed-Code einblenden


Passt das so, oder irgendwo ggf. Zwischenschritt zu wenig gezeigt?
Gerade bei der letzten Umformung fehlt evtl. ein Schritt?
Hätte das ohne den Tip zu gucken, wo man hinwill, nie selber gesehen (also letzte Umformung).





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-19


Hallo,

2019-05-19 11:32 - Zrebna in Beitrag No. 4 schreibt:
Hi!

Glaube es hat nun geklappt:

Ziel ist:
fed-Code einblenden


Ausgehend von der Stelle, an der ich pausiert habe, nun so weiter:
fed-Code einblenden

Auch der linke Teilterm ist im Zähler mit Nenner 2 - ich bekomm es mit dem formeleditor nicht ganz hin...


Aufgelöst dann:
fed-Code einblenden

weiter:
fed-Code einblenden

weiter mit:
fed-Code einblenden


Dann:
fed-Code einblenden

Negatives Vorzeichen mit (-1)* darstellen, so dass man später auf (-1) das Potenzgesetz anwenden kann:


fed-Code einblenden

Nun haben wir nur noch Multipl.-Zeichen -> AG kann Anwendung finden und direkt danach Potenzgesetz - ergibt:

fed-Code einblenden

ergibt nun schliesslich:
fed-Code einblenden


Passt das so, oder irgendwo ggf. Zwischenschritt zu wenig gezeigt?
Gerade bei der letzten Umformung fehlt evtl. ein Schritt?
Hätte das ohne den Tip zu gucken, wo man hinwill, nie selber gesehen (also letzte Umformung).

Alles richtig. Beim letzten Schritt könntest du die Faktorisierung noch zeigen.


Gruß, Diophant



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Ah, tatsächlich - danke.
Zuerst Zerlegen und dann mittels DG (n+1) ausklammern bzw. faktorisieren.

Ok, dann danke für alle Antworten - ich markiere dann mal den Thread als "erledigt".



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