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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » injektiven Gruppenhomomorphismus zeigen
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Universität/Hochschule J injektiven Gruppenhomomorphismus zeigen
PhilipKempe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Wünsche euch allen einen guten Start in den Tag smile

Trotz des schönen Wetters hoffe ich, dass mir jemand bei einer Aufgabe helfen kann, bei der ich nicht wirklich weiß, wie ich sie angehen soll.


Die Aufgabe ist




Ich verstehe schon die a) nicht ganz, weil ich mir unter dieser Abbildung  nichts vorstellen kann. Habe auch erstmal versucht, mir die Abbildung anhand eines Beispiels klar zu machen, aber ohne Erfolg.


Ich kann mir leider kein Beweis dazu überlegen, wenn ich nicht weiß, was  die Abbildung überhaupt macht..

Kann mir da jemand vielleicht ein verständliches Beispiel dazu geben? Wäre für jede Antwort sehr dankbar.



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-18


Guten Nachmittag,


die Linkstranslation ist die Abbildung $$L_g : G \to G : x \mapsto g*x$$ mit * der Verknüpfung in G.



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PhilipKempe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Was die Linkstranslation ist, weiß ich.

Das Problem bei mir ist eher, dass ich nicht weiß, was genau die Abbildung

$\theta: G \rightarrow S_{n}$ macht.


Ich kann mir dazu kein konkretes Beispiel ausdenken. Deswegen fällt mir der Beweis zu dieser Aufgabe schwer.



lg, Phillip



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-18


Welche kleineren Gruppen kennst du?
Nimme eine.

Dann setz mal die gegebenen Defintionen so weit ein wie du kommst.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

in der Aufgabe wird stillschweigend die symmetrische Gruppe $S_n$ mit der Gruppe der (Mengen-)Bijektionen $G\to G$ identifiziert.

Die Abbildung $\phi$ bildet ein Element $g\in G$ auf die Abbildung $L_g:G\to G$ ab.
\(\endgroup\)


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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-18


Dann machen wir ein Beispiel.
Sei $(G,*)=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$. Das ist eine Gruppe der Ordnung 3.
Es gilt
\[L_0=\begin{cases}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 2\end{cases}\] \[L_1=\begin{cases}0\mapsto 1\\1\mapsto 2\\2\mapsto 0\end{cases}\] und
\[L_2=\begin{cases}0\mapsto 2\\1\mapsto 0\\2\mapsto 1\end{cases}.\] Es bildet $L_g$ also $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$ in sich selbst ab. Wir permutieren nur die Elemente von $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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PhilipKempe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


Vielen Dank an alle biggrin


2019-05-18 14:17 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Dann machen wir ein Beispiel.
Sei $(G,*)=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$. Das ist eine Gruppe der Ordnung 3.
Es gilt
\[L_0=\begin{cases}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 2\end{cases}\] \[L_1=\begin{cases}0\mapsto 1\\1\mapsto 2\\2\mapsto 0\end{cases}\] und
\[L_2=\begin{cases}0\mapsto 2\\1\mapsto 0\\2\mapsto 1\end{cases}.\] Es bildet $L_g$ also $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$ in sich selbst ab. Wir permutieren nur die Elemente von $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


Das Beispiel finde ich sehr einleuchtend!


Dann meine ich zumindest zu verstehen, warum die Abbildung dann injektiv sein muss.

Weil in deinem Beispiel bildest du die Gruppe $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)$ auf $S_{3}$ ab, wobei nicht alle Elemente von $S_{3}$ getroffen wurden.


Ich versuche jetzt mal einen Beweis zu entwickeln und melde mich dann nochmal!

mfg, Philip





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PhilipKempe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


So, tut mir leid für die späte Antwort.

Ich habe nun die a) und b) so gut es geht bearbeitet.

Könnte jemand vielleicht einen Blick darauf werfen und mir mitteilen, ob ich Fehler gemacht habe? Bin mir da noch nicht so ganz sicher.



Aufgabe a)
___________

Behauptung
___________

Die Abbildung

$\phi: G \rightarrow \mathbb{S}_{n}, g \mapsto Lg$,

ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus.



Beweis
______

Zu zeigen sind.

(i) $\forall a, b \in G: \phi(a * b) = L_{a * b} = L_{a} \circ L_{b} = \phi(a) \circ \phi(b)$

(ii) $Ker(\phi) = \phi^{-1}(e_{\mathbb{S}_{n}}) = \{e_{G} \}$


Zu i)
________


Sei $x \in G$ beliebig.

$\phi(a * b) (x) = L_{a * b}(x) = (a * b) * x = a * (b * x) = $

$a * L_{b}(x) = L_{a} (L_{b}(x)) = (L_{a} \circ L_{b})(x) = \phi(a) \circ \phi(b)$


$\Rightarrow \phi(a * b) = L_{a * b} = L_{a} \circ L_{b} = \phi(a) \circ \phi(b)\quad \forall a, b \in G$





Zu ii)
________


Wir zeigen folgende Eigenschaft:

$ \forall a, b, x \in G: \phi(a)(x) = L_{a} (x) = L_{b} (x) =  \phi(b)(x) \Rightarrow a = b$

Also: $\phi(a) = L_{a} = L_{b} = \phi(b)\quad \forall a, b \in G$

Wenn wir dies gezeigt haben, folgt ii) sofort daraus.




Seien also $a, b, x \in G$ mit $\phi(a)(x) = L_{a}(x) = L_{b}(x) = \phi(b)(x)\quad \forall a, b, x \in G$


Mit Hilfe der Kürzungsregel erhalten wir dann:




$\phi(a)(x) = L_{a} (x) = \underbrace{a *x = b *  x}_{\text{Kürzungsregel}} = L_{b}(x) = \phi(b)(x)$  

$\overset{\text{Kürzungsregel}}{\underset{}{\Rightarrow}} a = b\quad \forall a, b, x \in G$

Also: $\phi(a) = L_{a} = L_{b} = \phi(b) \Rightarrow a = b\quad \forall a, b \in G$






Nun lässt sich ii) leicht daraus folgern:

Sei $a \in Ker(\phi)$.

 Daraus folgt: $\phi(a) = e_{\mathbb{S}_{n}} $, wobei
 

Das neutrale Element von $\mathbb{S}_{n}$, also $e_{\mathbb{S}_{n}}$, ist die Identität

$Id_{G}: G \rightarrow G, x \mapsto x = e_{G} * x = L_{e_{G}}(x)$

Also gilt: $\phi(a) = L_{a} = Id_{G} = L_{e_{G}} = \phi(e_{G})$

Wir haben also: $\phi(a) = \phi(e_{G})$

Aber aus obigem Beweis können wir sagen:

$\phi(a) = \phi(e_{G}) \Rightarrow a = e_{G}$



Damit erhalten wir: $Ker(\phi) = \phi^{-1}(e_{\mathbb{S}_{n}}) = \{e_{G} \}$



Damit ist die Behauptung gezeigt und die Abbildung

$\phi: G \rightarrow \mathbb{S}_{n}, g \mapsto Lg$,

ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus.


q.e.d




















zu b)
_____




In Aufgabe $2$ $a)$ haben wir gezeigt, dass die Abbildung $\phi$ injektiv ist.

Das heißt, dass jedes Element $y \in \mathbb{S}_{n}$ höchstes ein Urbild $x \in G$  besitzt.
Also ist das Bild $\phi(G)$ eine Teilmenge von $\mathbb{S}_{n}$.




In Aufgabe $2$ $a)$ haben wir aber auch gezeigt, dass die Abbildung $\phi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Und da $\phi$ ein Morphismus ist, greift Proposition $2.1.14$ $4)$:


"Sei $f: (G, \circ) \rightarrow (H, *)$ ein Morphismus.

Ist $\emptyset \neq U \subset G$ eine Untergruppe, so ist auch $f(U) \subset H$ eine Untergruppe."


Wir können die Gruppe $G$ als triviale Untergruppe von sich selbst auffassen. Und nach  Proposition $2.1.14$ $4)$ ist dann $Im(G) := \phi(G) \subset \mathbb{S}_{n}$ eine Untergruppe.


Wenn wir die Zielmenge der Abbildung $\phi$ auf das Bild $Im(G)$ beschränken, erhalten wir einen bijektiven Gruppenhomomorphismus


$\theta: (G, *) \rightarrow (Im(G), \circ)$.










Ist das so richtig? Oder sollte man dies noch verbessern? Freue mich auf euren Feedback!



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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-21 14:14


Mir gefällt's. Ein paar kleine Dinge hätte ich noch. Du kannst Injektivität direkt mit der Definition zeigen, wie du es bereits getan hast. Dann brauchst du aber nicht nochmal darauf verweisen, dass $\phi^{-1}(\{e_{\mathbb{S}}\})=\{e_G\}$ ist. Und ganz zum Schluss hast du $\circ$ und $*$ vertauscht, glaube ich.



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