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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: l^p-Räume sind Banachräume
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Universität/Hochschule J Funktionalanalysis: l^p-Räume sind Banachräume
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Hallo alle zusammen,
       
sei der Raum $\ell^p = \{c \in \mathbb{C}^\mathbb{N} \ | \ ||c||_p < \infty\}$ mit der Norm versehen $$||c||_p = \begin{cases} \left( \sum_{n \in \mathbb{N}}|c_n|^p \right)^{1/p} \quad &\text{für} \ 1\leq p < \infty\\ \sup_{n \in \mathbb{N}} |c_n| \quad &\text{für} \ p = \infty \end{cases}$$
       
BEH: $(\ell^p)$ ist ein Banachraum für $p = \infty$.
       
Also in seinem Buch "Funktionalanalysis" bringt D. Werner folgenden Beweis: ,,$T$ sei eine Menge. $\ell^{\infty}(T)$ sei der Vektorraum (!) aller beschränkten Funktionen von $X$ nach $\mathbb{K}.$ Für $x \in \ell^{\infty}$ setze $$||x||_{\infty} = \sup_{t \in T}|x(t)| (< \infty).$$ Man nennt $|| \ . \ ||$ die $\mathit{\text{Supremumsnorm}}$." Nun beweist er, dass $\left( \ell^{\infty}(T), || \ . \||_{\infty} \right)$ ein Banachraum ist: ,,Sei $(x_n)$ eine Cauchyfolge in $\ell^{\infty}(T).$ Es ist die Existenz eines Elementes $x\in \ell^{\infty}(T)$ für $||x_n - x||_{\infty} \rightarrow 0$ zu zeigen. Dazu beachte die Ungleichung $|y(t)| \leq ||y||_{\infty}$ für alle $t \in T, y \in \ell^{\infty}(T)$. Sie impliziert, daß bei beliebigem $t \in T$ die Zahlenfolge $(x_n(t))$ eine Cauchyfolge ist, die auf Grund der Vollständigkeit des Skalarenkörpers einen Limes besitzt, den wir mit $x(t)$ bezeichnen.
   
        Auf diese Weise wird eine Funktion $x: T \rightarrow \mathbb{K}$ definiert. Wir zeigen jetzt, dass $x$ beschränkt ist und daß $(x_n)$ bezüglich der Supremumsnorm gegen $x$ konvergiert. Zunächst wähle bei gegebenem $\epsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N$ mit $$||x_n - x_m ||_{\infty} \leq \epsilon \qquad \forall n,m \geq N.$$ Sei $t \in T$. Wegen $x_n(t) \rightarrow x(t)$ existiert $m_0 = m_0(\epsilon, t)$ mit $$|x_{m_0}(t) - x(t)| \leq \epsilon.$$ Ohne Einschränkung darf $m_0 \geq N$ angenommen werden, es gilt also für alle $n \geq N$ $$|x_n(t) - x(t)| \leq |x_n(t) - x_{m_0}(t)| + |x_{m_0}(t) - x(t)| \leq ||x_n - x_{m_0}||_{\infty} + \epsilon \leq 2 \epsilon.$$ Für beliebiges $t \in T$ ergibt sich nun zum einen $$|x(t)| \leq |x_N(t)| + |x(t) - x_N(t)| \leq ||x_N||_{\infty} + 2\epsilon,$$ d.h, $x$ ist beschränkt, zum anderen folgt $$||x_n - x||_{\infty} \leq 2\epsilon \qquad \forall n \geq N,$$ d.h., $\lim_{n \to \infty} x_n = x.$"
       
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

        Okay, nun gibt es einmal das $\ell^{\infty}$ aus der Aufgabe und Werners $\ell^{\infty}(T)$, die natürlich nicht gleich sind. Anyway, vielleicht kann man aber die Idee des Beweises verwenden, um zu zeigen, dass $\ell^{\infty}$ ein Banachraum ist? Was meint ihr?
       
        Frage zum Beweis: Wie kommt Werner darauf, dass $$||x_n - x||_{\infty} \leq 2\epsilon \qquad \forall n \geq N,$$? Es ist sicherlich einfach, aber ich sehe es noch nicht.
       
Gruß
Neymar



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-18


Huhu Neymar,

der Raum $\ell^{\infty}$ in deiner Aufgabe ist gerade $\ell^{\infty}(T)$ aus dem Buch von Werner mit $T=\mathbb{N}$.


Ohne Einschränkung darf $m_0 \geq N$ angenommen werden, es gilt also für alle $n \geq N$ $$|x_n(t) - x_m(t)| \leq |x_n(t) - x_m(t)| + |x_{m_0}(t) - x(t)| \leq ||x_n - x_{m_0}||_{\infty} + \epsilon \leq 2 \epsilon.$$

Ich glaube, an dieser Stelle hast du dich vertippt, es müsste wahrscheinlich

$|x_n(t) - x(t)| \leq |x_n(t) - x_{m_0}(t)| + |x_{m_0}(t) - x(t)| \leq \|x_n-x_{m_0}\|_{\infty}+\varepsilon \leq 2\varepsilon$

für alle $n\geq N$ heißen.
Da das für alle $t\in T$ gilt, folgt dann direkt

$\|x_n-x\|_{\infty}\leq 2\varepsilon$

für alle $n\geq N$.

Liebe Grüße,
Conny



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


Hey Conny,

stimmt, eine Folge ist ja nichts anderes als eine (spezielle) Abbildung! :-)
Dann glaube ich, um ehrlich zu sein, dass ich den Beweis genauso wie im Werner führe und dann (oder schon ganz am Anfang) $T = \mathbb{N}$ setze. Dann habe ich das sogar ein bisschen allgemeiner für $p = \infty$ bewiesen. Vor allem kann ich ja dann das Problem mit den Doppelindizes umgehen, die man sonst vermutlich hätte.

Okay, es gibt noch weitere Behauptungen.

BEH2: Für $1 \leq p < \infty$ bildet $(\ell^{\infty}, || \ . \ ||_{p})$ einen Banachraum. Okay, ich bin gerade wieder den Beweis von Werner durchgegangen und habe noch ein paar Fragen dazu.

(i) Annahme: $(x_n)$ sei eine Cauchyfolge (,,Folge von Folgen", ergo brauchen wir Doppelindizes). Nun schreibt Werner $x_n = \left( t_m^{(n)} \right)_{m \in \mathbb{N}}$. Okay, das kann man ja machen. Nun schreibt er, dass da $\forall x = (t_m) \in \ell^p, \forall m \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $|t_m| \leq ||x||_p$ gilt, die $(t_m^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ bei beliebigem $m$ skalare Cauchyfolgen sind. (Weiter: ,,Es ist nun noch $x \in \ell^{p}$ und $||x_n - x||_p \rightarrow 0$ nachzuweisen.")

$>$ Okay, ich verstehe zwei Sachen noch nicht: Wenn wir wissen, dass $x = t_m \in \ell^p$, dann sind wir doch fertig, oder? Aber der Beweis geht noch weiter ... Und: Bezüglich welcher Metrik sollen die $(t_m^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge sein (bzg. der Metrik der Körpers $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ oder $\mathbb{K} = \mathbb{C})$? Und woher wissen wir, dass sie eine Cauchyfolge bilden?

Okay, ich höre an dieser Stelle auf und mache dann beim nächsten Post weiter.

Gruß und vielen Dank im Voraus
Neymar



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-18


Hey Neymar,

genau, den Beweis für $\ell^{\infty}$ ausgestattet mit der $\|\cdot\|_{\infty}$-Norm ein Banachraum ist, kannst du so übernehmen. Aber natürlich solltest du dann, wenn du einen vollständigen Beweis findest und ihn übernimmst, immer versuchen, jeden Schritt im Detail nachzuvollziehen, so wie du es gerade tust ;)

Was den Beweis angeht, dass $(\ell^p, \|\cdot\|_p)$ für $1\leq p<\infty$ ein Banachraum ist, da meint $x$ am Anfang eine beliebige Folge in $\ell^p$ und später wird sie definiert und ist ab da dann die entsprechend definierte Folge:

Also sei $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge in $\ell^p$ und wir schreiben $x_n = (t_m^{(n)})_{m\in\mathbb{N}}$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Für alle $y = (s_m)_{m\in\mathbb{N}} \in \ell^p$ gilt die Ungleichung $|s_m|\leq \|y\|_p$ für alle $m\in\mathbb{N}$. $(*)$
Sei $\varepsilon > 0$ beliebig. Da $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge in $\ell^p$ ist, gibt es ein $N\in\mathbb{N}$, so dass

$\|x_n-x_k\|_p \leq \varepsilon$

ist für alle $n,k\geq N$. Wegen $x_n-x_k \in \ell^p$ gilt mit $(*)$ für alle $m\in\mathbb{N}$:

$|t_m^{(n)}-t_m^{(k)}| \leq \|x_n-x_k\|_p \leq \varepsilon$

für alle $n,k\geq N$.
Also ist $(t_m^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ für alle $m\in\mathbb{N}$ eine Cauchyfolge in $\mathbb{K}$. (Hierbei kann $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ gelten, welches von beiden ist egal)
Da $\mathbb{K}$ vollständig ist, konvergiert die Folge $(t_m^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ für alle $m\in\mathbb{N}$.
Dann definiert Werner $t_m:=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} t_m^{(n)}$ für alle $m\in\mathbb{N}$ und $x:= (t_m)_{m\in\mathbb{N}}$. Und für diese Folge muss man dann noch zeigen, dass sie in $\ell^p$ ist und dass $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ auch bezüglich der $\|\cdot\|_p$-Norm gegen $x$ konvergiert.

Liebe Grüße,
Conny



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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-18


Hi Neymar,
auf dem Raum l ist die Norm ||.||p nicht definiert.
Gruß Buri



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20 23:31


Hey Conny,

leider habe ich es gerade erst geschafft, mir den Beweis noch einmal anzuschauen sowie deine Antwort durchzugehen. Ich bedanke mich vielmals für deine Antworten; Werner hält sich an einigen Stellen meiner Meinung nach gerne kurz. Ich gebe zu, dass ich beim ersten Lesen nicht wirklich mitgenommen habe, dass man die Vollständigkeit des Körpers ausnutzt, aber da ist deine Antwort klarer. :-)

(Das war ein Tippfehler, Buri, danke für den Hinweis.)


Gruß
Neymar



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