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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Lokale Auflösung von Gleichungssystemen
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Universität/Hochschule J Lokale Auflösung von Gleichungssystemen
Juviole
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Hi,

diese Woche geht es bei mir darum, die lokale Auflösbarkeit von Gleichungssystemen zu zeigen.

fed-Code einblenden

soll in einer offenen Umgebung um \(x_0 = (2,5) , y_0 =(-1,0)\) lokal auflösbar sein in der Gestalt \((y_1,y_2) = h(x_1,x_2)\) und \(h'(x_0)\) soll bestimmt werden.

Die Auflösbarkeit hab ich recht einfach nachgewiesen, das Gleichungssystem ist stetig differenzierbar in \(x_0,y_0\), die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen nach \(y_1,y_2\) ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
, die Determinante ist nicht null in \(x_0,y_0\) also ist die Umkehrbarkeit nach dem Satz der impliziten Funktionen bewiesen.

Jedoch tue ich mich mit dem zweiten Teil schwer. Ich habe die Existenz der Abbildung \((y_1,y_2) = h(x_1,x_2)\) bewiesen, jedoch weiß ich nun nicht, wie ich diese Abbildung konkret erhalte, um sie danach ableiten zu können.

Kann mir da jemand eine Ansatzhilfe geben?



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
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Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-19


Hallo Juviole,
zum Berechnen der Ableitung siehe Wikipedia: Satz von der impliziten Funktion, Zusammenfassung. Sollte besser \(x_2=3\) sein?

Viele Grüße,
  Stefan



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Juviole
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Nein, \(x_2\) soll eindeutig 5 sein, laut Aufgabenstellung. Wieso sollte \(x_2=3\) sein?

Allerdings ist die Determinante der Jacobi-Matrix nach \(y_1,y_2\) partiell differenziert im Punkt \(x_0,y_0\) \(=3\), weswegen die lokale Auflösbarkeit um den Punkt mit dem Satz von impliziten Funktionen bewiesen ist, zusammen mit der stetigen Differenzierbarkeit beider Zeilen des GLS und der Tatsache, dass \(x_0,y_0\) eine Lösung des GLS sind.

Denke ich habe die Lösung für \(h'(x_0)\) nun auch, wenn mein Skript mich da nicht im Stich gelassen hat müsste das einfach das negative inverse der Jacobi Matrix nach \(y_1,y_2\) differenziert mal der Jacobi Matrix nach \(x_1,x_2\) differenziert sein, mit \(x_0,y_0\) eingesetzt.



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StefanVogel
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Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-19


2019-05-19 14:50 - Juviole in Beitrag No. 2 schreibt:
Nein, \(x_2\) soll eindeutig 5 sein, laut Aufgabenstellung. Wieso sollte \(x_2=3\) sein?
Wegen
... der Tatsache, dass \(x_0,y_0\) eine Lösung des GLS sind.

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Juviole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Hoppla, da hat sich ein Fehler in den LaTeX-Code geschlichen.
In der erste Zeile sollte das \(x_1^2\) sein, nicht \(x_1\)



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