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Mathematik » Zahlentheorie » Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)
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Kein bestimmter Bereich Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18




Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)




Mit Hilfe eines speziellen Siebalgorithmus lassen sich nach jedem Durchgang Collatzfolgen in bestimmten Restklassen zusammenfassen. Mit diesem Beweis will ich zeigen, dass das mit diesem Algorithmus theoretisch nach beliebig vielen Durchgängen und somit in beliebig große Restklassen möglich ist.




Zur Begrifflichkeit:


$Reduzierte \ Collatzfolge$

Eine Collatzfolge bestehend nur aus ungeraden Elementen und bei der ersten Zahl endend die kleiner ist als ihre Vorgängerzahl.


$Lange \ Folge$

Eine reduzierte Collatzfolge die mehr als 2 Elemente beinhaltet.


$Kurze \ Folge$

Eine reduzierte Collatzfolge die genau 2 Elemente enthält.


Lemma 1:


Bezüglich der Collatzfolgen haben bestimmte Restklassen die gleiche Anzahl an $n/2$ Schritten bis sie bei einer ungeraden Zahl landen. Siehe Tabelle:


\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1 \ Schritt&2 \ Schritte&3 \ Schritte&4 \ Schritte&5 \ Schritte&6 \ Schritte&7 \ Schritte&8 \ Schritte&...\\ \hline
2n+1&4n+2&8n+4&16n+8&32n+16&64n+32&128n+64&256n+128&512n+256&...\\ \hline
1&2&4&8&16&32&64&128&256&...\\\hline
3&6&12&24&48&96&192&384&768&...\\\hline
5&10&20&40&80&160&320&640&1280&...\\\hline
7&14&28&56&112&224&448&896&1792&...\\\hline
9&18&36&72&144&288&576&1152&2304&...\\\hline
11&22&44&88&176&352&704&1408&2816&...\\\hline
13&26&52&104&208&416&832&1664&3328&...\\\hline
15&30&60&120&240&480&960&1920&3840&...\\\hline
...&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\hline
\end{array} \]

Lemma 2:


Aus Lemma 1 folgt, dass Zahlen der Form

$4n+3$

immer lange Folgen ergeben. Denn

$3 \cdot (4n+3)+1=12n+10$

Die Restklasse $12n+10$ ist echte Teilmenge der Restklasse $4n+2$ aus Lemma 1. Somit lassen sich diese Zahlen nur einmal durch 2 teilen. Daraus folgt, dass also Zahlen der Form $4n+3$ als nächstes ungerades Collatzelement immer eine größere Zahl haben, weil

$\frac{3n+1}{2} > n$.

Daher können Zahlen der Form $4n+3$ keine kurzen Folgen mehr bilden.  

Bei

$4n+1$

ist es genau andersherum. Als nächstes Collatzelement haben sie immer eine kleinere Zahl, weil

$3 \cdot (4n+1)+1=12n+4$

Und die Restklasse $12n+4$ ist keine Teilmenge von $4n+2$ aus Lemma 1. Daher lassen sich Zahlen dieser Form mindestens 2 mal halbieren. Somit hat die Restklasse $4n+1$ als nächstes Element immer ein kleineres Element, weil

$\frac{3n+1}{4} < n$.

Daher bilden Zahlen der Form $4n+1$ immer kurzen Folgen.  



Lemma 3:


Startzahlen (bzw. Zahlen aus der Spalte Element 1) der reduzierten Collatzfolgen bestehen aus Zahlen der Form

$6n+1$

$6n+3$

$6n+5$

Alle anderen Elemente bestehen aus Zahlen der Form

$6n+1$

$6n+5$

Laut Lemma 1 werden nur Zahlen der Form $6n$ nach Halbierungsschritten zu ungeraden Zahlen der Form $6n+3$. Für ungerade Zahlen gilt aber folgendes

$3 \cdot (2n+1)+1=6n+4$

Zahlen der Form $6n+4$ und Zahlen der Form $6n$ haben keine Schnittmenge. Daher können ungerade Zahlen nach dem $3n+1$ Schritt nie wieder zu ungeraden Zahlen der Form $6n+3$ werden. Das bedeutet nur Startzahlen (bzw. Zahlen aus Spalte "Element 1") können Zahlen der Form $6n+3$ enthalten.


Lemma 4:


Um lange Folgen streichen zu können (und somit auch Collatzfolgen in Restklassen zusammenzufassen...) muss gezeigt werden, dass sie Elemente beinhalten, die auch in den kurzen Folgen vorkommen. Aus Lemma 2 und 3 folgt, dass das vorletzte Element der langen Folgen von der Form $12n+1$ oder $12n+5$ ist:

$ (\{ 6n+1 \mid  n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} ) \cap \{ 4n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} = \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 12n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} $

Wenn man zeigen kann, dass in jedem Schritt 4 "Dublikate streichen" in der Elementspalte die Elemente ausschließlich und genau von der Form $6n+1$ und $6n+5$ sind, dann lassen sich nach jedem Durchgang auch immer wieder alle langen Folgen streichen, weil

$ \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 12n+5 \mid n \in \mathbb{N} \}  \subset  \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N}\} $

Grundvoraussetzung für die Funktion des Algorithmus ist also, dass sich nach jedem Mal "Dublikate streichen" diese Restklassen $6n+1$ und $6n+5$ ergeben. Es lässt sich zeigen, dass das immer wieder nach beliebig vielen Durchgängen auch passiert.




Teil 1:


In der Spalte Element 1 von Schritt 1 kommen Zahlen der Form $2n+1$ vor. Für $6n+1$ und $6n+5$ gilt

$ \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \}  \subset  \{ 2n+1 \mid n \in \mathbb{N} \}$

Daher lassen sich laut Lemma 4 in Schritt 2 lange Folgen streichen.
 
Aus Lemma 2 folgt, dass nur Zahlen der Form $4n+1$ übrigbleiben. Diese Zahlen werden nun gestrichen (siehe Schritt 3/Durchlauf 1) und aus den übrigen Zahlen (Spalte Element 2) werden noch Dublikate gestrichen (Schritt 4/Durchlauf 1). Es werden neue reduzierte Folgen erstellt (Schritt 1/Durchlauf 2). In Schritt 2 werden wieder lange Folgen gestrichen.

Um zu zeigen, dass wir wieder lange Folgen streichen können (Lemma 4), müssen in Schritt 4 "Dublikate streichen" in der Spalte "Element 2" Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ über bleiben. Aber wie zeigen wir das? Genauer gesagt: Warum werden aus den Zahlen $4n+1$ in Spalte "Element 1" (Tabelle Schritt 2) die Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ in Spalte "Element 2" (Tabelle Schritt 4)?

Schauen wir uns dafür noch mal die Restklasse $4n+1$ in Schritt 2 in der Spalte "Element 1" genauer an. Wir teilen diese Zahlen in folgende 4 Restklassen ein (wie zu sehen in Schritt 4)

$16n+1$

$16n+5$

$16n+9$

$16n+13$


Aus Lemma 1 wissen wir, dass bestimmte Restklassen die gleiche Anzahl an $n/2$ Schritten haben. Wenn man bei 3 dieser $16n$ Restklassen den $3n+1$ Schritt durchführt liegen sie genau in den Restklassen von Lemma 1:

$3 \cdot (16n+1)+1=48n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (16n+9)+1=48n+28 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (16n+13)+1=48n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$


Das heißt die drei Restklassen $16n+1$, $16n+9$ und $16n+13$ haben jeweils eine genau definierte Anzahl an $n/2$ Schritten zur nächsten ungeraden Zahl während die Restklasse $16n+5$ das nicht hat. Wenn aber diese 3 Restklassen jeweils eine genau definierte Anzahl an "n/2" Schritten zur nächsten ungeraden Zahl haben, dann müssen die nächsten ungeraden Zahlen in der reduzierten Collatzfolge ja auch in Restklassen einteilbar sein (wie zu sehen in Schritt 4...). Und zwar wie folgt:

$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+9 \rightarrow 12n+7 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

Somit haben wir also in der nächsten Elementspalte die Restklassen $12n+1$, $12n+7$ und $6n+5$ vorliegen, für die gilt:

$ \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 12n+7 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \}  =  \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N}\} $

Und genau das wollten wir ja auch zeigen, dass die Zahlen in der Spalte Element 2 in Schritt 4 genau Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ sind.

Nun ist auch klar, dass die Restklasse $16n+5$ nur Dublikate erzeugen kann: Lemma 3 besagt, dass als Collatzelemente nur Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ gebildet werden können. Die werden aber schon durch $16n+1$, $16n+9$ und $16n+13$ in der Elementspalte lückenlos gebildet...


Teil 2:


Nachdem wir also das zweite mal lange Folgen gestrichen haben (Schritt 2 Durchlauf 2) verbleiben in der Spalte "Element 2" in Schritt 2/Durchlauf 2 Zahlen der Form $12n+1$ und $12n+5$. Das ergibt sich daraus, weil wir aus den Zahlen $6n+1$ und $6n+5$ lange Folgen gestrichen haben. Lange Folgen sind Zahlen der Form $4n+3$. Es verbleibt somit folgende Schnittmenge:

$ (\{ 6n+1 \mid  n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} ) \cap \{ 4n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} = \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 12n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} $

Um das dritte Mal lange Folgen streichen zu können müssen wir nun zeigen, dass in der Spalte "Element 3" in Schritt 4/Durchlauf 2 Elemente der Form $6n+1$ und $6n+5$ gebildet worden sind und zwar aus den Restklassen $12n+1$ und $12n+5$ die sich in der Spalte "Element 2" in Schritt 2/Durchlauf 2 befinden.

Hierzu machen wir folgende Restklassenaufteilung. Aus den Zahlen $12n+1$ und $12n+5$ lassen sich folgende 8 Restklassen bilden

$24n+1$

$24n+17$

$48n+5$

$48n+13$

$48n+29$

$96n+37$

$192n+85$

$192n+181$

Diese Restklassen sind wieder so gebildet, dass 6 davon (wenn man den 3n+1 Schritt durchführt...) in jeweils genau einer der Restklassen aus Lemma 1 liegen.

$3 \cdot (24n+1)+1=72n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (24n+17)+1=72n+52 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+13)+1=144n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+29)+1=144n+88 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (96n+37)+1=288n+112 \rightarrow \ Teil \ von \ 32n+16 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (192n+181)+1=576n+544 \rightarrow \ Teil \ von \ 64n+32 \ aus \ Lemma \ 1$

Es ergibt sich also wieder eine identische Anzahl an $n/2$ Schritten zur nächsten ungeraden Zahl. Und somit bilden sich als nächstes Element (Element 3) wieder genau festgelegte Restklassen wie folgt:

$24n+1 \rightarrow \ 18n+1$

$24n+17 \rightarrow \ 18n+13$

$48n+13 \rightarrow \ 18n+5$

$48n+29\rightarrow \ 18n+11$

$96n+37\rightarrow \ 18n+7$

$192n+181 \rightarrow \ 18n+17$


Für diese 6 Restklassen gilt wieder:

$ \{ 18n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 18n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 18n+7 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 18n+11 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 18n+13 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 18n+17 \mid n \in \mathbb{N} \}  =  \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N}\} $

Die Restklassen $48n+5$ und $192n+85$ hingegen bilden wieder keine einheitliche Restklasse als nächstes ungerades Collatzelement und können daher wieder als Dublikate gestrichen werden.

Und nun haben wir eine Dauerschleife, weil ja aus

$6n+1  $

$6n+5  $

wird wieder $4n+3$ weggestrichen. $12n+1$ und $12n+5$ bleiben über. Und daraus wird wie gezeigt ja wieder $6n+1$ und $6n+5$.

Zusammengefasst:

$2n+1$

$\downarrow$

$4n+1$

$\downarrow$

$6n+1 \ und \ 6n+5$

$\downarrow$ $\uparrow$

$12n+1 \ und \ 12n+5$

Es wurde gezeigt, dass der Algorithmus beliebig oft anwendbar ist. Die direkte Konsequenz daraus ist, dass jede Folge in endlich vielen Schritten entweder bei der 1 endet oder aber auf eine andere Folge zurückgeführt wird aus folgendem Grund:

Eine endlich große Startzahl die nur kurze Folgen erzeugt wird in endlich vielen Schritten bei der 1 landen. Wenn sie aber im Laufe des Algorithmus eine lange Folge erzeugt, wird sie automatisch auf eine andere kurze Folge zurückgeführt. So oder so wird also jede Startzahl in endlich vielen Schritten bei der 1 landen oder auf eine andere Collatzfolge zurückgeführt.


Teil 3


In Teil 1 und Teil 2 wurde gezeigt wie und warum Collatzfolgen nach jedem Durchgang zusammengefasst werden können. In Teil 3 wird gezeigt welche Restklassen als Startzahlen übrig bleiben.
Zu Beginn in Schritt 1 liegen Startzahlen der Form $2n+1$ vor. In Schritt 2 werden lange Folgen gestrichen. Es verbleiben als Startzahlen Zahlen der Form $4n+1$. Nach dem zweiten Mal "Lange Folgen streichen" verbleiben als Startzahlen $32n+1$,$32n+13$ und $32n+17$. Nach dem dritten Mal "Lange Folgen" streichen entstehen die Restklassen $256n+13$, $256n+17$, $256n+45$, $256n+65$, $256n+129$, $256n+141$, $256n+145$, $256n+173$, $256n+177$, $256n+193$, $256n+205$, $256n+241$ und $256n+257$. Das führt sich immer weiter so fort. Nach jedem Schritt "Lange Folgen streichen" bleiben als Startzahlen immer größere Restklassen stehen.





Algorithmus




Zur Erklärung des Algorithmus:


$Erklärung \ der \ Tabelle:$

$Stz=Startzahl$

$El.=Element$

$Rkl.=Restklasse$

Die Spalte Startzahl und Element 1 sind identisch. Zu jeder Startzahl- und Elementspalte ist eine Restklassenspalte eingefügt, in der die jeweiligen Startzahlen und Elemente in Restklassen eingeteilt werden können.



Schritt 1 Reduzierte Folgen erstellen (Durchlauf 1)


In Schritt 1 werden die reduzierten Collatzfolgen untereinander aufgelistet. Als Startzahlen bzw. Element 1 treten hier Zahlen der Form $2n+1$ auf.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
 1&2n+1 & &1 & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 3&2n+1 & &3 & &  &5 & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 5&2n+1 & &5 & &  & 1 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 7&2n+1 & &7 & &  & 11  & &  & 17 &&  &13 & &  & & &  &  &...\\\hline
 9&2n+1 & &9 & &  &7  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 11&2n+1 & &11 & &  & 17 & &  &13  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 13&2n+1 & &13 & &  & 5 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 15&2n+1 & &15 & &  & 23 & &  &35  &&  &53 & &  &5 & &  &  &...\\\hline
 17&2n+1 & & 17& &  & 13 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 19&2n+1 & &19 & &  & 29 & &  &11  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 21&2n+1 & &21 & &  &1  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 23&2n+1 & &23 & &  & 35 & &  &53  &&  & 5& &  & & &  &  &...\\\hline
 25&2n+1 & &25 & &  & 19 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 27&2n+1 & &27 & &  & 41 & &  &31  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 29&2n+1 & & 29& &  &11  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 31&2n+1 & &31 & &  & 47 & &  &71  &&  &107 & &  &161 & &  & 121 &...\\\hline
 33&2n+1 & &33 & &  & 25 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 35&2n+1 & &35 & &  & 53 & &  &5  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 37&2n+1 & &37 & &  & 7 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 39&2n+1 & &39 & &  &59  & &  &89  &&  & 67& &  & & &  &  &...\\\hline
 41&2n+1 & &41 & &  & 31 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 43&2n+1 & &43 & &  & 65 & &  & 49 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45&2n+1 & &45 & &  &17  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 47&2n+1 & &47 & &  & 71& &  & 107 &&  &161 & &  &121 & &  &  &...\\\hline
 49&2n+1 & &49 & &  &  37 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 51&2n+1 & &51 & &  &77 & &  & 29 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 53&2n+1 & & 53& &  & 5  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 55&2n+1 & &55 & &  & 83 & &  & 125 &&  &47 & &  & & &  &  &...\\\hline
 57& 2n+1& &57 & &  & 43& &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 59&2n+1 & &59 & &  &  89 & &  & 67 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 61&2n+1 & &61 & &  & 23 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 63&2n+1 & &63 & &  & 95 & &  & 143 &&  &215 & &  &323 & &  & 485 &...\\\hline
 65&2n+1 & &65 & &  & 49 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 67&2n+1 & &67 & &  & 101 & &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]


Schritt 2 Lange Folgen streichen (Durchlauf 1)


In Schritt 2 werden lange Folgen (Startzahlen der Form $4n+3$) gestrichen. Startzahlen der Form $4n+1$ bleiben über.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
 \color{red}1&\color{red}{4n+1} & &1 & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}5&\color{red}{4n+1 }& &5 & &  & 1 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} 9&\color{red}{4n+1} & &9 & &  &7  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{13}&\color{red}{4n+1} & &13 & &  & 5 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{17}&\color{red}{4n+1} & & 17& &  & 13 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{21}&\color{red}{4n+1} & &21 & &  &1  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {25}&\color{red}{4n+1} & &25 & &  & 19 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {29}&\color{red}{4n+1} & & 29& &  &11  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {33}&\color{red}{4n+1} & &33 & &  & 25 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {37}&\color{red}{4n+1} & &37 & &  & 7 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 41}&\color{red}{4n+1} & &41 & &  & 31 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 45}&\color{red}{4n+1} & &45 & &  &17  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{49}&\color{red}{4n+1} & &49 & &  &  37 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 53}&\color{red}{4n+1} & & 53& &  & 5  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{57}& \color{red}{4n+1}& &57 & &  & 43& &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {61}&\color{red}{4n+1} & &61 & &  & 23 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{65}&\color{red}{4n+1} & &65 & &  & 49 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 3 Spalte Element 1 streichen (Durchlauf 1)


Streichen der Spalte "Element 1". In der Spalte "Element 2" verbleiben Zahlen der Form $6n+1$, $6n+5$ und Dublikate.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
 1& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 5&& && &  & 1 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 9& & && &  &7  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 13& & & & &  & 5 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 17&& & & &  & 13 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 21& & & & &  &1  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
25&& & & &  & 19 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
29& & & & &  &11  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& & & & &  & 25 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
37& & && &  & 7 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 41& & & & &  & 31 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45& & & & &  &17  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49& & & & &  &  37 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 53& & & & &  & 5  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
57& & & & &  & 43& &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
61& & & & &  & 23 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65& & & & &  & 49 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 4 Dublikate streichen (Durchlauf 1)


Streichen von Dublikaten aus der Spalte "Element 2". Es verbleiben Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} 9&\color{red}{16n+9} & & & &  &\color{red}{7}  & \color{red}{12n+7}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{13}&\color{red}{16n+13} & & & &  & \color{red}{5} &\color{red}{6n+5} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{17}&\color{red}{16n+1} & & & &  & \color{red}{13} &\color{red}{12n+1} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {25}&\color{red}{16n+9} & & & &  & \color{red}{19} &\color{red}{12n+7} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {29}&\color{red}{16n+13} & && &  &\color{red}{11}  &\color{red}{6n+5} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {33}&\color{red}{16n+1} & & & &  & \color{red}{25 }& \color{red}{12n+1}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 41}&\color{red}{16n+9} & & & &  & \color{red}{31} & \color{red}{12n+7}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 45}&\color{red}{6n+13} & & & &  &\color{red}{17 } & \color{red}{6n+5}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{49}&\color{red}{12n+1} & & & &  &  \color{red}{37 }&\color{red}{12n+1} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {59} & \color{red}{16n+9}& & & &  &\color{red}{ 43}& \color{red}{12n+7}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {61}&\color{red}{16n+13} & & & &  &\color{red}{ 23} &\color{red}{6n+5} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{65}&\color{red}{16n+1} & & & &  & \color{red}{49} & \color{red}{12n+1}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]


Schritt 1 Reduzierte Folgen erstellen (Durchlauf 2)


Aus den verbliebenen Zahlen ($6n+1$ und $6n+5$) in Spalte "Element 2" werden neue reduzierte Collatzfolgen erstellt.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 9& & & & &  &7  & &  & 11 &&  &17 & &  & 13& &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 13& & & & &  &5 & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
17& & & & &  & 13 & &  & 5 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
25& & & & &  & 19 &&  & 29 &&  &11 & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
29& & && &  &11  & &  & 17 &&  & 13& &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& & & & &  &25 & &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 41& & & & &  & 31 & &  & 47 &&  &71 & &  & 107& &  & 161 &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45& & & & &  &17  &&  & 13 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49& & & & &  &  37 & &  & 7 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
59 && & & &  & 43& &  & 65 &&  & 49& &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
61& & & & &  & 23 & &  &35  &&  &53 & &  &5 & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65& & & & &  &49 & &  & 37 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 2 Lange Folgen streichen (Durchlauf 2)


In Schritt 2 werden wieder lange Folgen gestrichen. Genauer gesagt werden in Spalte Element 2 von den Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ aus Schritt 1 die Zahlen der Form $4n+3$ weggestrichen. Es verbleiben Zahlen der Form $12n+1$ und $12n+5$.


\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 13}&\color{red}{32n+13} & & & &  &\color{red}{5} & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{17}& \color{red}{32n+17}& & & &  &\color{red}{ 13} &\color{red}{48n+13} &  & 5 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{33}& \color{red}{32n+1}& & & &  &\color{red}{25} &\color{red}{24n+1} &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{45}&\color{red}{32n+13} & & & &  &\color{red}{17}  &\color{red}{24n+17}&  & 13 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{49}&\color{red}{32n+17} & & & &  &  \color{red}{37} &\color{red}{96n+37} &  & 7 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 && & & &  & & &  & &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{65}&\color{red}{32n+1} & & & &  &\color{red}{49} & \color{red}{24n+1}&  & 37 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]


Schritt 3 Spalte Element 2 streichen (Durchlauf 2)


Streichen der Spalte "Element 2". In der Spalte "Element 3" verbleiben Zahlen der Form $6n+1$, $6n+5$ und Dublikate.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
13&32n+13 & & & &  & & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
17& 32n+17& & & &  &  & &  & 5 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& 32n+1& & & &  & & &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45&32n+13 & & & &  &  &&  & 13 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49&32n+17 & & & &  &   & &  & 7 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 && & & &  & & &  & &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65&32n+1 & & & &  & & &  & 37 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 4 Dublikate streichen (Durchlauf 2)


Streichen von Dublikaten aus der Spalte "Element 3". Es verbleiben Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
17& 32n+17& & & &  &  & &  &  \color{red}{5} &\color{red}{18n+5}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& 32n+1& & & &  & & &  &  \color{red}{19} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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 45&32n+13 & & & &  &  &&  &  \color{red}{13} &\color{red}{18n+13}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49&32n+17 & & & &  &   & &  &  \color{red}{7} &\color{red}{18n+7}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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 65&32n+1 & & & &  & & &  &  \color{red}{37} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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77&32n+13 & & & &  & & &  & \color{red}{11}  &\color{red}{18n+11}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
81& 32n+17& & & &  &  & &  & \color{red}{23} &\color{red}{18n+5}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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97& 32n+1& & & &  & & &  &  \color{red}{55} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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 109&32n+13 & & & &  &  &&  &  \color{red}{31} &\color{red}{18n+13}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 113&32n+17 & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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 129&32n+1 & & & &  & & &  &  \color{red}{73} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
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Wenn man zeigen könnte, dass in dem Zyklus aus dem vorherigen Post die Restklassen $48n+5$ und $192n+85$ nach endlich vielen Schritten immer wieder auftauchen müssen, zusätzlich mit kleiner werdenden n, und das etappenweise dann wäre Collatz gelöst... wink
$48n+5$ und $192n+85$ sind die Restklassen die Dublikate erzeugen aber unter ihnen sind auch die Zahlen die im nächsten Schritt die 1 erzeugen.

FOlgende Beobachtung:

Collatzfolgen durchlaufen immer wieder die Restklassen $48n+5$ und $192n+85$ und zwar mit kleiner werdenden n aber etappenweise. Betrachten wir dazu Collatzfolgen bestehend nur aus den Restklassen $48n+5$ und $192n+85$:

Beispiele:

$27$ $(Startzahl)$
$3077$ ($48n+5$ / $n=64$)
$53$ ($48n+5$ / $n=1$)
$5$ ($48n+5$ / $n=0$)
$1$

$52357$ $(Startzahl)$
$11045$ ($48n+5$ / $n=230$)
$4661$ ($48n+5$ / $n=97$)
$437$ ($48n+5$ / $n=9$)
$3077$ ($48n+5$ / $n=64$)
$53$ ($48n+5$ / $n=1$)
$5$ ($48n+5$ / $n=0$)
$1$

$56894103$ $(Startzahl)$
$128011733$ ($48n+5$ / $n=2666911$)
$4054949$ ($48n+5$ / $n=84478$)
$650261$ ($48n+5$ / $n=13547$)
$10853$ ($48n+5$ / $n=226$)
$2069$ ($48n+5$ / $n=43$)
$3077$ ($48n+5$ / $n=64$)
$53$ ($48n+5$ / $n=1$)
$5$ ($48n+5$ / $n=0$)
$1$








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