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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Varianz des Impulses ausrechnen
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Universität/Hochschule Varianz des Impulses ausrechnen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Hallo alle zusammen,

gegeben wir haben eine bestimmte Wellenfunktion in der Impulsdarstellung gegeben und sollen davon deren Varianz ausrechnen, welche ja so definiert ist in der QM: $$(\Delta p)^2 \equiv \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2$$ So, für $\langle p \rangle^2$ gilt (das kommt aus der Rechnung raus): $$\langle p^2 \rangle = \frac{\hbar}{\pi \lambda} \int_{-\infty}^{\infty} \rho^2 \frac{\sin^2(\rho)}{(\rho - 2\pi)^2}d\rho.$$ Dies ist kein Tippfehler, $\rho$ ist proportional zu $p$ und ist eine Hilfsvariable. So, WolframAlpha kann dieses Integral nicht lösen ("TimedOut") und für $\lim_{\rho \to \infty} \rho^2 \frac{\sin^2(\rho)}{(\rho - 2\pi)^2}$ gibt WolframAlpha nur ,,0 to 1" an, was nicht hilft.

Die Lösung erhält (durch Argumentieren), dass dieses Integral divergiert, kann man das auch rechnerisch sehen bzw. sich klar machen?  


Gruß
Neymar






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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-19


2019-05-18 21:33 - Neymar im Themenstart schreibt:
So, für $\langle p \rangle^2$ gilt

Du meinst vermutlich nicht $\langle p \rangle^2$, sondern $\langle p^2\rangle$.

2019-05-18 21:33 - Neymar im Themenstart schreibt:
und für $\lim_{\rho \to \infty} \rho^2 \frac{\sin^2(\rho)}{(\rho - 2\pi)^2}$ gibt WolframAlpha nur ,,0 to 1" an, was nicht hilft.

Für $\rho\to\pm\infty$ ist$$
\rho^2 \frac{\sin^2\rho}{(\rho - 2\pi)^2}\approx\sin^2\rho$$ Das schwankt (wie dir WolframAlpha ja schon verraten hat) zwischen 0 und 1, ist aber außerdem noch $\pi$-periodisch. Aus der Priodizität folgt, dass das Integral$$
\frac{\hbar}{\pi \lambda} \intop_{-K}^K\rho^2 \frac{\sin^2\rho}{(\rho - 2\pi)^2}\;d\rho$$ asymptotisch linear in $K$ wächst, und aus $0<\sin^2\!\rho$ folgt, dass die Wachstumrate nicht 0 ist. Also divergiert das Integral linear in $K$.



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Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 503
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Jop, Tippfehler von mir, obwohl ich extra noch betont habe, dass kein Tippfehler vorliege ...

$$\lim_{\rho \to \pm \infty}\left( \frac{\rho^2}{\rho^2 - 4\pi \rho + 4\pi^2} \right) = \lim_{\rho \to \pm \infty}\left( \frac{1}{1-\frac{4\pi}{\rho}+4\frac{\pi^2}{\rho^2}} \right) = 1$$

Könntest du bitte noch kurz erklären, warum du von ,,linear in K"  gesprochen hast? Wenn ich mir dein Integral so anschaue, dann ist der Wachstum im Unendlichen doch nicht linear, oder, da $sin^2(\rho)$ ja nicht linear wächst.


Danke für deine Antwort im Voraus.

Neymar



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MontyPythagoras
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-19


Hallo Neymar,
im Mittel über eine Periode von $\pi$ wächst das Integral um $\frac\pi2$. Schau Dir doch einfach mal das Integral von $\sin^2\varphi$ an:
www.wolframalpha.com/input/?i=int+sin(phi)%5E2+dphi

Ciao,

Thomas



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-19


2019-05-19 08:38 - Neymar in Beitrag No. 2 schreibt:
$$\lim_{\rho \to \pm \infty}\left( \frac{\rho^2}{\rho^2 - 4\pi \rho + 4\pi^2} \right) = \lim_{\rho \to \pm \infty}\left( \frac{1}{1-\frac{4\pi}{\rho}+4\frac{\pi^2}{\rho^2}} \right) \color{red}=\, 0$$

Das rot markierte Gleichheitszeichen ist falsch. (Das ist so offensichtlich, dass es möglicherweise nur ein Tippfehler ist.)



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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2020
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-19


... und WolframAlpha kann das Integral sehr wohl ausrechnen. Oft musst Du bei WolframAlpha nur die Integrationsgrenzen weglassen und sie anschließend selbst einsetzen:
www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B(x%5E2%2F(x+-+2+Pi)%5E2)+Sin%5Bx%5D%5E2,+x%5D
Du kannst es auch recht leicht selbst berechnen, wenn du $\rho=\varphi+2\pi$ substituierst:
$$\int\rho^2 \frac{\sin^2\rho}{(\rho - 2\pi)^2}\;\mathrm d\rho=\int(\varphi+2\pi)^2 \frac{\sin^2(\varphi+2\pi)}{\varphi^2}\;\mathrm d\varphi=\int(\varphi+2\pi)^2 \frac{\sin^2\varphi}{\varphi^2}\;\mathrm d\varphi=\int\left(1+\frac{4\pi}\varphi+\frac{4\pi^2}{\varphi^2}\right)\sin^2\varphi\;\mathrm d\varphi$$
So kommen der Integralsinus und Integralcosinus mit rein.

Ciao,

Thomas



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Hallo MontyPythagoras und zippy.

Erst einmal danke für eure Antworten, den Tippfehler habe ich korrigiert.

Okay, ich hätte noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe: Gegeben sei

$$\Psi(x,0) = A \exp(-\alpha x^2/(2\hbar))\exp(ip_0x/\hbar)$$

So, für den Erwartungswert gilt: $\langle p(t) \rangle = p_0$ und $\langle  p^2 \rangle = p_0^2 + \frac{\hbar \alpha}{2}$. (Ich habe mit Kommilitonen verglichen, das sollte richtig sein.) So, nun soll man zeigen: $$\langle H \rangle = \frac{\langle p \rangle^2}{2m} + \langle H \rangle_0,$$ wobei $\langle H \rangle_0$ die Energie eines Wellenpaketes mit $\langle p \rangle = 0$ ist.

$>$ Okay, und genau das verstehe ich noch nicht. Man hat schon gezeigt, dass $\langle p \rangle = p_0$. Impliziert das $\langle p \rangle = 0$?


Gruß
Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-19


2019-05-19 16:56 - Neymar in Beitrag No. 6 schreibt:
So, für den Erwartungswert gilt: $\langle p(t) \rangle = p_0$ und $\langle  p^2 \rangle = \frac{\hbar \alpha}{2}$. (Ich habe mit Kommilitonen verglichen, das sollte richtig sein.)

Das ist mit Sicherheit nicht richtig.

Kann es sein, dass du $\langle p^2\rangle$ und $(\Delta p)^2$ durcheinanderwirfst?



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Ja, da hast du Recht, ich habe den Fehler korrigiert!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-19


2019-05-19 16:56 - Neymar in Beitrag No. 6 schreibt:
$>$ Okay, und genau das verstehe ich noch nicht. Man hat schon gezeigt, dass $\langle p \rangle = p_0$. Impliziert das $\langle p \rangle = 0$?

Das impliziert $\langle p \rangle = 0$ für $p_0=0$.

Um die Beziehung$$
\langle H\rangle = \frac{\langle p \rangle^2}{2m} + \langle H \rangle_0
$$ zu zeigen, musst du nur in $\langle H \rangle$ den konkreten Hamiltonoperator einsetzten, dann die Linearität von $\langle\,\cdot\,\rangle$ ausnutzen und schließlich deine bisherigen Ergebnisse beachten.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Okay, dann erhalte ich:

$$\langle \hat H\rangle = \left\langle \frac{\hat P^2}{2m} \right\rangle \overset{\text{linear}}{=} \frac{1}{2m}\langle  \hat P^2\rangle = \frac{1}{2m} \left( p_0^2 + \frac{\hbar \alpha}{2} \right)$$ Außerdem:  $$\langle \hat H \rangle_0 = \frac{1}{2m} \left\langle \hat P^2 \right\rangle_0 \overset{p_0 = 0}{=} \frac{1}{2m} \frac{\hbar \alpha}{2}$$

Und: $$\frac{\langle p \rangle^2}{2m} = \frac{p_0^2}{2m}$$QED


Noch eine Frage: Nun soll man die erhaltenen Ergebnisse interpretieren, wobei ich nur zu zwei Sachen jeweils eine Frage habe:  

Form des Wellenpaketes und Energie-Impuls-Relation


Ich frage mich, warum das Gaußsches Wellenpaket einen Faktor mit Exponentialterm (wo die imaginäre Einheit auftraucht) haben muss.

zur Energie-Impuls-Relation fällt mir nichts ein. Wir sollten Erwartungswerte und Varianzen berechnen, aber nichts zur Energie-Impulsrelation. Also ich weiß, dass es auch eine Unschärfe zwischen Ort und Energie gibt, will man hier darauf hinaus?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-19


Wenn du $\langle H\rangle$ ausrechnest, darfst du natürlich nicht einfach mal so $p_0=0$ setzten. Das darfst du nur, wenn du $\langle H\rangle_0$ ausrechnest.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Ich habe mittlerweile meinen letzten Post korrigiert.



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