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Mathematik » Stochastik und Statistik » Dichte vom Produkt unabhängiger Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Dichte vom Produkt unabhängiger Zufallsvariablen
Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-20


Ich habe die gleichverteilten , unabhängigen Zufallsvariablen $X$ und $Y$ auf dem Intervall $(-1,1)$ mit den zugehörigen Dichtefunktionen $f_1$ und $f_2$.
Gesucht sind die Dichtefunktionen von $X+Y$, $XY$ und $\frac{X}{Y}$.

Für die Summe habe ich es mit mehreren Fallunterscheidungen geschafft, beim Produkt komme ich nun nicht weiter.


$f_{XY}(z)=\int_{-1}^{1} \frac{1}{|x|} f_1(x)f_2(\frac{z}{x}) \ dx$

$=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{|x|} f_2(\frac{z}{x}) \ dx$

Weiter muss gelten: $-1<\frac{z}{x}<1$
Hier möchte ich mit $x$ multiplizieren. Ich habe unterschieden für $x<0$ und $x>0$ und komme aber sowieso in beiden Fällen auf $|z|<x$

Dann habe ich mir gedacht, dass ich das Integral wohl aufteilen muss. Damit erhalte ich:

$f_{XY}(z)=\frac{1}{2}( \int_{-1}^{0} \frac{1}{|x|} f_2(\frac{z}{x}) \ dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{|x|} f_2(\frac{z}{x}) \ dx)$

Weiter wollte ich hier jetzt die Fälle unterscheiden: $z<0$ und $z>0$, komme aber nicht weiter.

Habe ich soweit etwas falsch gemacht ober übersehen?



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-20


Hallo Roemer,

nur zur Klärung eine Rückfrage: meinst du gleichverteilte oder identisch verteilte ZVen (ich vermute mal letzteres)? Und was hat es mit dem offenen Intervall auf sich?

Im ersten Fall hätte man ja für beide eine konkrete Dichte. Im zweiten Fall würde die von dir angewandte Formel zwar Sinn machen, aber man hätte dann doch immer noch für X und Y die gleiche Dichtefunktion, oder bin ich da jetzt auf dem Holzweg?


Gruß, Diophant



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Roemer
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Dabei seit: 05.01.2018
Mitteilungen: 76
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Ich meine gleichverteilt.

$X \sim \mathcal{U}(-1,1)$
mit Dichtefunktion
$f_1(x)=\mathit{}\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}\ \ \ \ \ x\in(-1,1)\\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sonst\end{matrix}\right\}$

Analog für $Y$

$Y \sim \mathcal{U}(-1,1)$
mit Dichtefunktion
$f_2(x)=\mathit{}\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}\ \ \ \ \ x\in(-1,1)\\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sonst\end{matrix}\right\}$



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Roemer
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Dabei seit: 05.01.2018
Mitteilungen: 76
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Für $X$ und $Y$ haben wir also wirklich die gleiche Dichtefunktion, das ist richtig.



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