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Mathematik » Topologie » abgeschlossener Quader ist kompakt
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Autor
Universität/Hochschule J abgeschlossener Quader ist kompakt
Benutzermane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-20


Hallo

Ich habe mir gerade den Beweis zur Kompaktheit eines abgeschlossenen Quaders in $\mathbb{R^n}$ angeschaut:
Seite 22, Satz 50:
page.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana2.pdf

Ich denke viele von hier kennen den Beweis in etwa:
Angenommen der Quader ist nicht kompakt.
Man nehme eine offene Überdeckung des Quaders $Q$ und halbiert diesen dann, mindestens eine Hälfte davon hat nun keine endliche Teilüberdeckung, und so halbiert man weiter ...

man erhält dann:
$ Q \supset Q_1 \supset Q_2 \dots $
es gibt dann ein $x \in \cap Q_k \subset Q$ und ein $U_i$ aus der offenen Überdeckung und ein $\epsilon > 0$ sodass
$U_{\epsilon}(x) \subset U_i$, aber somit hat jeder Quader $Q_k$ mit Durchmesser $< \epsilon$ eine endliche Teilüberdeckung, also Widerspruch!

Ich verstehe allerdings nicht wo dieser Beweis schief gehen würde wenn man statt dem abgeschlossenen den offenen Quader nimmt.
Liegt es daran dass $\cap Q_k$ von oben abgeschlossen ist?



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-20


Hey Benutzermane,

der von dir angesprochene Beweis verwendet das Schachtelungsprinzip (Satz 43 auf S. 20). Das benötigst du, um zu beweisen, dass es ein \(x \in \bigcap\limits_{k \in \mathbb{N}} Q_k\) gibt. Das wiederum gilt nur, falls alle \(Q_k\) abgeschlossen sind. Und das kannst du nur garantieren, wenn \(Q\) selbst abgeschlossen ist.

Edit: vllt noch ein Beispiel, wieso das bei offenen Quadern i.A. schief geht. Betrachten wir etwa den offenen Quader \(Q= (0,1)^n\) und angenommen, die \(Q_k\) aus dem Beweis, deren Existenz ja nur auf abstrakte Weise sichergestellt ist, seien \(Q_k=(0, \frac{1}{2^k})^n\). In dem Fall wäre \(\bigcap\limits_{k \in \mathbb{N}} Q_k= \emptyset\), der Beweis funktioniert also in diesem Fall nicht.



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Benutzermane
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.11.2018
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


danke kampfnudel!



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