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Analysis » Folgen und Reihen » 0,9999... = 1
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Universität/Hochschule 0,9999... = 1
chrissi99
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  Themenstart: 2019-05-21

Moinsen, ich bin neu hier und habe mir zu diesem Thema schon zig Themen durchgelesen und mich öfter mal damit beschäftigt. Die Beweise wie: 1/3 = 0,3333.. und somit 3/3 = 0,999... --> 1 = 0,999... sind mir alle bekannt. Aber stimmen diese so auch? Habe meinen Prof neulich gefragt, er meinte dazu das 0,3333... lediglich ein Grenzwert zu 1/3 ist. somit wäre 0,999... auch nur ein Grenzwert zu 1? Zusätzlich meinte er (keine Ahnung aber ob dies stimmt), dass man theoretisch 0,333333.... nicht mit 3 multiplizieren darf, da man endlichkeiten mit unendlichkeiten nicht multiplizieren kann. Das wäre mal mein erster Punkt. Der 2.: Es heist ja das keine Zahl zwischen 0,999.. und 1 liegt. Allerdings habe ich gelesen dass es auch Hyperreele Zahlen gibt (glaube so heisen diese) und dass es damit doch zahlen gibt welche dazwischen liegen. Soweit ich dies verstanden habe. So nun eben die Frage, ist es 1 oder nicht? Die oben von mir genannten Punkte sprechen dagegen. Stimmen aber diese? Oder ist mir da schwachsinn erzählt worden? Ich weiß, dass es dazu 100 Threads gibt aber in keinem davon bin ich auf meine Punkte dabei wirklich gestoßen und die Threads sind zT schon 5 Jahre oder älter. Über antworten wäre ich sehr erfreut, vorallem über Antworten von Personen, die sich damit wirklich auskennen und dabei eine genauere Antwort kennen. So wie ich das sehe ist es so, dass beides möglich ist. Es ist z.T 1 z.T aber auch nicht 1, jenachdem wie man es sieht. LG


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) Hallo chrissi99 und herzlich Willkommen auf Matroids Matheplanet! Ich gehe einmal davon aus, dass dir die Geometrische Reihe und ihr Grenzwert bekannt sind? Es ist \[\ba 0.\overline{9}&=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\cdots\\ \\ &=9\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\cdots\right)\\ \\ &=9\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k\\ \\ &=9\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k-1\right)\\ \\ &=9\cdot\left(\frac{1}{1-\frac{1}{10}}-1\right)\\ \\ &=9\cdot\left(\frac{10}{9}-1\right)\\ \\ &=9\cdot\frac{1}{9}=1 \ea\] Reicht dir das als 'Beweis' aus? Diesen Satz: \quoteon(2019-05-21 16:15 - chrissi99 im Themenstart) Habe meinen Prof neulich gefragt, er meinte dazu das 0,3333... lediglich ein Grenzwert zu 1/3 ist. somit wäre 0,999... auch nur ein Grenzwert zu 1? \quoteoff scheinst du falsch verstanden zu haben. Letztendlich ist 1 der Grenzwert, wenn man die Anzahl der Neuner hinter dem Komma unendlich groß werden lässt. Die Sache mit den Hyperreellen Zahlen lasse ich mal aus. Meiner Ansicht nach gehört das hier nicht her, vielleicht kann aber noch jemand anders dazu Stellung nehmen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
cripper
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-21

Hallo, ja, \(0.\overline{9}=1\). Den Beweis findest du in der Antwort von Diophant. Der "Beweis" durch die von dir beschriebene Methode ist dubios. Die gliedweise Multiplikation von unendlich vielen Nachkommastellen ist im Allgemeinen nicht definiert (schau dir dazu beispielsweise mal \(\frac{4}{3}\) auf diese Weise an oder \(2\pi\)). Zu den hyperrellen Zahlen: Wenn du mathematisch weit genug fortgeschritten bist, kannst du dir den Wikipediaartikel dazu durchlesen und wirst deine Frage leicht selber beantworten können. Falls nicht, ergibt es wenig Sinn, das auszuführen, da dir dann (noch) wesentliche Begriffe der Topologie und Algebra fehlen, um die Konstruktion vernünftig nachvollziehen zu können. Es sei aber gesagt, dass die hyperrellen Zahlen eine Erweiterung der reellen Zahlen sind und man dabei einen Körper aus reellwertigen Folgen betrachtet und nicht mehr (nur) die reellen Zahlen. Und ja, in den hyperrellen Zahlen ist dann auch \((0,0.9,0.99,0.999,...)<(1,1,1,1,...)\). Allerdings zählt das ganze Thema zur Nichtstandardanalysis und sollte für dich deshalb zunächst nicht so interessant sein, wie die eigentliche Aussage, dass \(0.\overline{9}=1\) ist in den reellen Zahlen. Gruß cripper


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) @cripper: \quoteon(2019-05-21 17:25 - cripper in Beitrag No. 2) Der "Beweis" durch die von dir beschriebene Methode ist dubios. Die gliedweise Multiplikation von unendlich vielen Nachkommastellen ist im Allgemeinen nicht definiert (schau dir dazu beispielsweise mal \(\frac{4}{3}\) auf diese Weise an oder \(2\pi\)). \quoteoff Wobei ich das streng genommen auch gemacht habe. Es muss natürlich klar sein, dass es sich um eine konvergente Reihe handelt, mit der man das macht. Und weiter (danke für die Beispiele ;-) ) muss es übertragfrei möglich sein, das illustrieren ja deine Beispiele, wo dies eben nicht funktioniert. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-21

Das Problem mit den Beweisen zu dem Thema, die man überall findet, ist dass dies lediglich vergebliche Plausibilitätsargumente sind, da die Beteiligten in der Regel mathematische Laien und sich nicht einig sind, was eine Zeichenfolge wie «0,999...» überhaupt exakt bedeutet. Nur so sind überhaupt (hier gerade mal nicht vorgebrachte) Einwände wie dass die Differenz z.B. 0,0...01 sein könne, zu verstehen. Wenn man einmal verstanden hat, was eine reelle Zahl überhaupt bedeutet, stellt sich die Frage ob 0,999...=1 ist überhaupt nicht mehr. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-21

Huhu, \quoteon(2019-05-21 16:15 - chrissi99 im Themenstart) So nun eben die Frage, ist es 1 oder nicht? \quoteoff was denn? Im Threadtitel steht (edit: das wurde wohl geändert) 0,9999 (das ist würde ich sagen nicht 1), weiter unten 0,999... und dann noch 0,999.. Das ist für mich nur eine Zeichenkette (eigentlich sind es drei, aber ich denke du meinst immer die gleiche). Du solltest also erstmal eine Definition liefern, welche du benutzen möchtest. Definieren kannst du erstmal alles was du möchtest, da kann dich niemand hindern. Ich könnte z.B. \(0,999...:=3\) und \(0,999..:=2\), und dir nun mitteilen, dass dieses also nicht 1 ist, macht aber wenig Sinn, wenn du eine andere Definition im Kopf hast. Nun ja - um es kurz zu machen. Wenn es um reelle Zahlen geht, würde ich dir diesen Beitrag empfehlen (er ist 4 Jahre alt, aber ich kann dir versichern, dass sich die Mathematik in dieser Zeit auf diesem Gebiet nicht neu erfunden hat), wenn du dich in den hyperreellen Zahlen bewegen möchtest, dann wäre dieser Artikel vll was für dich: https://arxiv.org/pdf/0811.0164.pdf Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Kitaktus
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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-21

\quoteon(2019-05-21 17:25 - cripper in Beitrag No. 2) Zu den hyperrellen Zahlen: ... ja, in den hyperrellen Zahlen ist dann auch \((0,0.9,0.99,0.999,...)<(1,1,1,1,...)\). \quoteoff Das ist richtig, allerdings ist die hyperrelle Zahl (0,0.9,0.99,0.999,...) nicht identisch mit der reellen Zahl 0,999.... Die Behauptung 0,999... und 1 wären im Bereich der hyperreellen Zahlen verschieden, ist _nicht_ richtig.


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\) Hallo chrissi99, Diophant hat schon den korrekten Beweis geliefert. Ich möchte dabei noch anmerken, dass die von Diophant aufgestellte Summe per Definition identisch zu $0.\overline9$ ist. Das ist die Definition einer Dezimalzahl: \[a_0,a_{1}a_{2}\dots:=\sum_{k=0}^\infty a_k\left(\frac{1}{10}\right)^k\] Entsprechend ist \[0,99\dots=\sum_{k=1}^\infty 9\left(\frac{1}{10}\right)^k\] Und das ist der Punkt, an dem es nichts zu diskutieren gibt (auch wenn es häufig trotzdem getan wird). 0,99... ist per Definition der Grenzwert dieser Reihe, und die Definition muss man entweder akzeptieren, oder drauf verzichten, mit Mathematikern über das Thema reden zu können. Und der Grenzwert dieser Reihe ist 1 (hier kann man natürlich gerne darüber reden, wenn man die zugehörige Rechnung nicht nachvollziehen kann).\(\endgroup\)


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viertel
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-22

Um noch ein wenig Verwirrung (beim Fragesteller) zu stiften: Wie ist $0.4\overline{9}$ auf eine ganze Zahl zu runden? Nach dem Komma steht eine $4$, also auf $0$ abrunden. Oder ist etwa doch auf $1$ aufzurunden, da $0.4\overline{9}=0.5$ ist? Gruß vom ¼


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AnnaKath
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  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-22

Verwirrung ist gut, wie leicht nachzuweisen gilt für jede infinitesimal kleine (hyperreelle) Zahl $\epsilon$ und jedes $n \in\mathbb{N}$: $\frac{9 \cdot \sum_{j=1}^{n-1} 10^j}{10^n} < 1-\epsilon < 0.\bar{9} = 1 $. Wir mögen keine hyperreellen Zahlen, aber wir gehen mit ihnen ganz formal um. lg, AK.


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Kitaktus
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  Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-22

Womit man sieht, dass die üblichen Grenzwertsätze im Bereich der hyperreellen Zahlen nicht so ohne weiteres übertragbar sind.


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-22

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\supp}{\supp} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\Ass}{Ass} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \newcommand{\ndownlong}[2]{#1\ 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Die Folgen $a=(1,1,1,1,1,1,\cdots)$ und $b=(0,0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)$ definieren die gleiche reelle Zahl, da ihre Differenz eine Nullfolge ist. Man braucht hier meiner Meinung nach keine Geometrische Reihe (wobei das Argument mit der geometrischen Reihe natürlich schöner ist =) ). Die Folge der Differenzen ist gleich $a-b=(10^0,10^{-1},10^{-2},\cdots)$ \(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) @xst: \quoteon(2019-05-22 10:00 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 11) Die reellen Zahlen können als Cauchy-Folgen rationaler Zahlen modulo Nullfolgen definiert werden. Die Folgen $a=(1,1,1,1,1,1,\pts)$ und $b=(0,0.9,0.99,0.999,0.9999,\pts)$ definieren die gleiche reelle Zahl, da ihre Differenz eine Nullfolge ist. Man braucht hier meiner Meinung nach keine Geometrische Reihe (wobei das Argument mit der geometrischen Reihe natürlich schöner ist =) ). Die Folge der Differenzen ist gleich $a-b=(10^0,10^{-1},10^{-2},\pts)$ \quoteoff In Sachen 'Schönheit' würde ich hier eher sagen: unentschieden. Möchte man den Sachverhalt Schülern näher bringen, ist der Weg über die geometrische Reihe erfahrungsgemäß der beste. Sonst muss man heutzutage ersteinmal damit beginnen zu erklären, was überhaupt eine Folge ist... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.13, eingetragen 2019-05-22

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\supp}{\supp} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\Ass}{Ass} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \newcommand{\ndownlong}[2]{#1\ 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Die Folgen $a=(1,1,1,1,1,1,\cdots)$ und $b=(0,0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)$ definieren die gleiche reelle Zahl, da ihre Differenz eine Nullfolge ist. Man braucht hier meiner Meinung nach keine Geometrische Reihe (wobei das Argument mit der geometrischen Reihe natürlich schöner ist =) ). Die Folge der Differenzen ist gleich $a-b=(10^0,10^{-1},10^{-2},\cdots)$ \quoteoff In Sachen 'Schönheit' würde ich hier eher sagen: unentschieden. Möchte man den Sachverhalt Schülern näher bringen, ist der Weg über die geometrische Reihe erfahrungsgemäß der beste. Sonst muss man heutzutage ersteinmal damit beginnen zu erklären, was überhaupt eine Folge ist... Gruß, Diophant \quoteoff Hi Diophant. Ich muss dir Recht geben hinsichtlich der Vorkenntnisse. Will man die reellen Zahlen als Komplettierung von der rationalen Zahlen bezüglich des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags konstruieren, dann muss man schon mindestens wissen was eine Cauchy Folge ist. Viele Grüße \(\endgroup\)


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wij48
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Eine vergnüglich zu lesende Abhandlung zu diesem Thema gibt es bei Detlef D. Spalt, Vom Mythos der mathematischen Vernunft, Darmstadt 1981, S. 3Ωff. (sic!)


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hyperG
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\quoteon(2019-05-21 16:15 - chrissi99 im Themenstart) ... So nun eben die Frage, ist es 1 oder nicht? ... \quoteoff Wird meist falsch angegangen! Richtig ist: es gibt keinen mathematischen Algorithmus zur Konstruktion von "Periode 9"! Egal was man versucht, da es kein "Unendlich -1" gibt (denn das bleibt Unendlich), kommt entweder immer eine ganze Zahl (1 ) heraus, oder etwas, was 1-x mit x>0. Das "0.9..." (oder mit Querstrich über der 9) ist ein String und keine Zahl! Die meisten denken im Kopf an eine "String-Addition" "0." +"9" + "9" +... aber das ist keine Mathematik (eher Informatik, und da gibt es nun mal keine Stringlänge größer als Anzahl der Atome im Weltall) bzw. es gibt dann keine Funktion zur Wandlung in eine "Zahl unendlich klein vor 1" Number(Unendlich-String), die dann "was zwischen 0.9... und 1" ergeben könnte. Selbst wenn man per Definition den String "0.9..." als Input zulassen würde, ergäbe das Ergebnis Number("0.9...")=1 .


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buh
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Wenn man auf der Zahlengeraden eine unendliche dezimale Intervallschachtelung zur Beschreibung von Punkten als Repräsentanten von Zahlen benutzt und dazu den "SATZ: Jede unendliche Intervallschachtelung enthält genau einen Punkt.", dann wird schnell klar, dass an den Intervallrändern jeweils zwei Folgen denselben Punkt beschreiben, nämlich die xxx9999999999999... identisch zu xx(x+1)000000000000... Man benötigt dazu nicht einmal reelle (die kann man so konstruieren), geschweige denn hyperreelle Zahlen. Gruß von buh2k+19


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  Beitrag No.17, eingetragen 2019-05-23

\quoteon(2019-05-22 10:00 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 11) Die Folgen $a=(1,1,1,1,1,1,\cdots)$ und $b=(0,0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)$ definieren die gleiche reelle Zahl, da ihre Differenz eine Nullfolge ist. \quoteoff Hallo, stehe gerade auf dem Schlauch, was hier der Unterschied zu Diophants Beweis sein soll. Ich meine: wie zeigt man denn, dass die Differenz eine Nullfolge ist? Doch wohl mit der geometrischen Reihe. Oder übersehe ich etwas? LG Stephan


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Kitaktus
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\quoteon(2019-05-23 09:55 - maxpower1984 in Beitrag No. 17) \quoteon(2019-05-22 10:00 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 11) Die Folgen $a=(1,1,1,1,1,1,\cdots)$ und $b=(0,0.9,0.99,0.999,0.9999,\cdots)$ definieren die gleiche reelle Zahl, da ihre Differenz eine Nullfolge ist. \quoteoff Ich meine: wie zeigt man denn, dass die Differenz eine Nullfolge ist? \quoteoff Sei $\varepsilon>0$ beliebig. Wir setzen $n=\lceil -log_{10}{(\varepsilon)} \rceil+1$. Damit ist $10^{-n}<\varepsilon$. Kannst Du mit diesem Ansatz beweisen, dass die Differenz der beiden Folgen eine Nullfolge ist (normales Grenzwert-Kriterium)?


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