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Analysis » Folgen und Reihen » Laurentreihenentwicklung
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Universität/Hochschule Laurentreihenentwicklung
AlphaOmega12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-21 18:54


Schönen Tag,

ich wollte fragen ob jemand einen Blick auf die folgende Aufgabe und meiner Lösung dazu werfen kann, da ich unsicher bin ob das stimmt.

Man soll die Laurentreihenentwicklung der Funktion \( f(z) = \frac{1}{(1-\frac{1}{z})^2}\) auf passenden Kreisscheiben um die Singularitäten betrachten.

Man sieht, dass für \(0 < |z| < 1\) gilt, dass: \[ \frac{1}{(1-\frac{1}{z})} = - \frac{z}{1-z} = -z\sum \limits_{k=0}^{\infty}z^k \] womit dann die Funktion f als Cauchy Produkt der obigen Reihen entsteht.
Das Cauchy Produkt wäre dann ja \(z^2\sum \limits_{k=0}^{\infty}kz^k\), doch das divergiert ja. Ist das egal?

Für \(|z| > 1 \) ist dann \(f(z) = \sum \limits_{k=0}^{\infty}kz^{-k}\), was ja wieder divergiert.

Ist das Stuss was ich hier mache oder ist das dann einfach die Laurentreihenentwicklung?

LG



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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-21 20:05


2019-05-21 18:54 - AlphaOmega12 im Themenstart schreibt:
Das Cauchy Produkt wäre dann ja \(z^2\sum \limits_{k=0}^{\infty}kz^k\), doch das divergiert ja.
Hallo,
wieso soll dieses Produkt divergieren?

Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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AlphaOmega12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21 20:56


Hm, also vielleicht könnte ich den Konvergenzradius ja mit Cauchy-Hadamard als \[ \frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty} (\sqrt[n]{|n|})} = 1
 \] berechnen.
Damit wäre es für das gewünschte z ja konvergent richtig?

Für das zweite Produkt hätte ich dann ja denselben Konvergenzradius obwohl ich negative Exponenten habe, die Koeffizienten werden ja im Betrag betrachtet. Doch dann ist ja \( |\frac{1}{z}| < 1 \) und damit auch hier die Reihe konvergent.

Soweit korrekt?

LG



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