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Olympiade-Aufgaben » Bundeswettbewerb Mathematik » Bundeswettbewerb Mathe 2016 2. Runde
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Schule Bundeswettbewerb Mathe 2016 2. Runde
mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-21


Hallo, ich möchte gerne die Aufgabe 2 vom BWM 2016 der 2. Runde lösen. Jedoch fällt es mir sehr schwer die Lösund zu verstehen. Kann mir jemand helfen?

Die Aufgabe lautet: Beweise, dass es unendlich viele positive ganze Zahlen gibt, die sich nicht als Summe aus einer Dreieckszahl und einer Primzahl darstellen lassen.

Ich bitte dringend um Hilf
Lg Margaux



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 541
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-21


Hi,
willst du sie lösen oder verstehen?
Ich hatte sie damals sehr schön durch einen Widerspruch gelöst, wobei ich durch Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, inspiriert wurde. Mein Widerspruch am Ende war, dass es eine Zahl gibt, die gerade und ungerade zugleich ist  biggrin
Die offizielle Lösung hatte aber explizite Zahlen gegeben, welche sich nicht als solch einer Summe schreiben lassen. Was genau verstehst du nicht?

Red_



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Kornkreis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 795
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-21


Das Verstehen von Musterlösungen, insbesondere deren technischer Argumente, ist immer etwas nervig oder auch ärgerlich, wenn man die Aufgabe eigentlich selbst lösen wollte. Deshalb mein Tip: Löse selbst andere Aufgaben ähnlich hohen oder leicht niedrigeren Niveaus (je nach dem, wo du gerade stehst und wie viel Übung mit leichteren Aufgaben du brauchst), sodass du dir sicher bist, dass du solche Aufgaben mit etwas Mühe durchaus lösen kannst. Dann löse besagte Aufgabe komplett selbst. Schau erst dann genauer in die Musterlösung  wink



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 541
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-21


Kornkreis hat recht. Es ist wirklich lästig deren Musterlösungen zu verstehen. Ich habe insgesamt 32 Aufgaben beim BWM gelöst zu meiner Schulzeit und fast keine Musterlösung komplett verstanden, falls ich an anderen Beweisen interessiert war  biggrin



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mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


Ich möchte sie nur verstehen. In der Lösung verstehe ich erstmal nicht was r(n) sein soll. Sind das die Primzahlen?? Lg



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mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


Ich muss diese Aufgabe für meinen Matheunterricht verstehen und vortragen und bin am verzweifeln.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 541
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-21


Hi,
r(n) ist der Rest, sodass du addiert mit d(k_n) genau auf n kommst. Du kannst dir auch r(n) genau so definieren, also r(n)=n-d(k_n).



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mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


Ok vielen Dank! Ich hätte noch eine Frage:

Wollen die Leute im Beweis das Gegenteil beweisen? Also Aufgabenstellung „nicht als summe“ beweisen sie praktisch mit der Differenz, oder?



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mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


Wenn ich das, was du geschrieben hast einsetze kommt bei mir etwas unmögliches raus:
n= d(kn) + r(n)
ich setze n=4
4= d(k4) + r(n)  
4= 10 + r(n)
somit müsste r(n) -6 sein, aber es muss größer gleich 0 sein.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 541
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-21


Sie wollen nicht das Gegenteil beweisen, sondern sie schreiben die Summe einfach als Differenz um.

K_4 ist nicht 4! k_4 ist eine geeignete Zahl die man finden muss.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6042
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-22


Könnte jemand die Lösung hier mal aufschreiben, oder verlinken?

Übrigens: Nette Aufgabe für einen Hausaufgabenwettbewerb.
Ich habe erstmal ein paar Zahlen gesucht, die sich nicht in der geforderten Weise als Summe darstellen lassen. Dann nach einer gemeinsamen Eigenschaft von vielen dieser Zahlen geschaut. Den Fokus auf Zahlen mit dieser Eigenschaft verengt und geschaut, ob es eine logische Begründung gibt, warum diese Zahlen sich nicht als Summe darstellen lassen.
Das führte wiederum zu einer weiteren Eigenschaft und am Ende fehlte nur noch eine Begründung, warum es unendlich viele solcher Zahlen gibt.

Eine schöne Verknüpfung von Ausprobieren - Vermutung aufstellen - Analysieren - Vermutung konkretisieren - Beweisen - wieder Ausprobieren - Vermuten - Beweisen.
Wenn man dann umgekehrt mit der finalen Aussage in den Beweis einsteigt, fällt für den uneingeweihten Leser die Beweisidee vom Himmel.



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mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-22


www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben/aufgaben-2016/loes-16-2-e.pdf

hier ist die Aufgabe. Ich verstehs einfach nicht. Oh man



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philippw
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1091
Aus: Hoyerswerda
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-22


Hi Margaux,

der Beweis ist etwas anstrengend geschrieben, da er nicht nur die Behauptung beweist, sondern auch versucht zu erklären, wie man auf die Lösung kommt.

Wenn ich den Teil "Wie kommt man da drauf" weglasse, lässt sich der Beweis zu folgendem verkürzen:

"Es gibt unendlich viele solche Zahlen, z.B. alle Zahlen der Form d(2(3t + 1)).
Beweis: Wenn das nicht stimmen würde, könnte ich eine solche Zahl als d(j) + primzahl schreiben. Doch d(2(3t + 1)) - d(j) = (lange Umformung) ... = "irgendwas>1"*"irgendwas anderes>1", was nie eine Primzahl ist."

Der offizielle Beweis macht quasi genau das, fängt aber mit einer beliebigen Zahl n statt d(2(3t + 1)) an, schreibt dann n als d(kn) + r(n), weil es die Umformungen praktischer macht, beschränkt sich dann auf r(n)=0 weil es "gut aussieht" um den "nie eine Primzahl" Teil hinzubekommen, und beschränkt sich dann noch weiter auf kn=2(3t + 1), weil es erst dann richtig funktioniert. Die ganzen Einschränkungen auf immer weniger allgemeine n sind ok, solange noch unendlich viele Zahlen übrig bleiben.

Ist das klarer? Falls nicht, frag möglichst konkret, was dir Schwierigkeiten bereitet.

Gruß,
Philipp


-----------------
"Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können."
Karl Marx



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mathemargaux
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-22


Du kannst dir gar nicht vorstellen wie sehr du mir damit hilfst. Wie kommen die auf d(2(3t+1))?  und wieso setzen sie für j= k-1 und j= k-2 ein? einfach so oder hat das einen bestimmten grund?
Lg margaux



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philippw
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1091
Aus: Hoyerswerda
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-22


"und wieso setzen sie für j= k-1 und j= k-2 ein?"
Wenn du die Lösung genau liest, siehst du, dass sie alle Werte von j behandeln, nicht nur k-1 und k-2. Siehe den Absatz "Falls j ≤ k − 3, ...".

Das große Problem ist zu beweisen, dass der Bruch, der bei der Umformung rauskommt, keine Primzahl ist. Und dann gehen sie alle j<k durch, und für jedes j schauen sie, ob man es beweisen kann. j ≤ k − 3 kann man alle ganz leicht abhandeln, nur k-1 und k-2 gehen nicht so direkt. Deswegen wird der Bruch in den beiden Fällen genauer angeschaut: einmal kommt nach Vereinfachung einfach "k" raus, einmal "2k-1". Und jetzt brauchen wir unendlich viele Werte für "k", bei denen diese beiden Werte auch keine Primzahl sind, sondern Produkte von zwei Zahlen > 1. Da haben sie sich k=2(3t + 1) ausgedacht, da gibt es sicher auch andere Möglichkeiten.

Gruß,
Philipp



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6042
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-05-27


Wenn j=k-d ist, dann kann man zeigen, dass für ungerades d die Differenz durch d teilbar (aber von d verschieden) ist und für gerades d durch d/2 teilbar (aber von d/2 verschieden) ist.
Ist d nun mindestens 3, so folgt daraus sofort, dass die Differenz keine Primzahl ist, weil sie ja einen nicht-trivialen Teiler hat. Nur für d=1 und d=2 geht es nicht so einfach.

Jetzt muss man nur noch k finden, für die k und 2k-1 nicht prim sind.
Meine Lösung verwendet alle k, die (in der Dezimaldarstellung) auf 8 enden. Hier ist k durch 2 teilbar und 2k-1 durch 5.
Die Musterlösung verwendet offenbar k, bei denen k durch 2 und 2k-1 durch 3 teilbar sind.



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