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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Auflösung von Gleichungssystemen nach Variablen
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Universität/Hochschule Auflösung von Gleichungssystemen nach Variablen
Winglu97
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.05.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-21 19:14


Guten Abend liebe Leute,
wir befassen uns gerade mit dem Beweis der Auflösbarkeit von Gleichungen und bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen. Allerdings habe ich da ein paar Fragen, vielleicht weis ja jemand mehr.
Gezeigt werden soll, das das Gleichungssysytem:
fed-Code einblenden
in einer offenen Umgebung von fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
nach (u,v) auflösbar ist.
Bestimmen Sie zudem die ersten Ableitungen von u und v nach x und y in fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Laut der Aussage sollen die beiden Funktionen ja nach u und v auflösbar sein.
Hierbei stellt sich mir die frage wie ich das Beweisen kann, vermutlich mit dem Satz über Implizite Funktionen allerdings ist mir nicht klar wie ich diesen mit den Variablen anwenden kann,

Was genau ist mit der Ableitung von u und v nach x und y gemeint? verstehe nicht wirklich was hierbei gefragt ist.

Mit freundlichen Grüßen Winglu




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1505
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-21 23:20


Hey Winglu97,

ja, du sollst den Satz über implizite Funktionen anwenden. Dabei solltest du zunächst mal eine geeignete Funktion \(F\) definieren, sodass \(F(x,y,u,v)=0\) genau dann gilt, wenn \((x,y,u,v)\) eine Lösung des Gleichungssystems ist (wenn du das tust, gib auch Definitions- und Zielraum an. Am besten in der Form, wie es auch in deinem Skript steht). Man sollte natürlich auch noch prüfen, dass die angegebene Koordinate \((\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},0)\) tatsächlich das Gleichungssystem löst (sonst wäre das ganze natürlich witzlos).

Wenn da steht, dass du nach \((u,v)\) auflösen sollst, solltest du besser nicht an zwei Variablen (in \(\mathbb{R}\)) denken, sondern an eine Variable in \(\mathbb{R}^2\).

Vielleicht wird das ganze etwas übersichtlicher, wenn man die Variablen folgendermaßen umbenennt, etwa \(a=(x,y) \in \mathbb{R}^2\) und \(b=(u,v) \in \mathbb{R}^2\) und man setzt \(a_0=(\frac{1}{2},0)\) und \(b_0=(\frac{1}{2},0)\). Dann sollst du zeigen, dass obiges Gleichungssystem in einer Umgebung von \((\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},0)\) nach \(b\) auflösbar ist. Das heißt, es soll eine Funktion \(f\) geben (mit gewissen Eigenschaften, definiert auf gewissen Mengen mit gewissen Zielbereichen), sodass
\(f(a_0)=b_0\) und
\(f(a)=b \Leftrightarrow ~F(a,b)=0\) (für alle \(a\) und \(b\) in diesen gewissen Mengen).

Mit der Ableitung von \(u\) und \(v\) nach \(x\) und \(y\) ist gemeint, dass du die Jacobimatrix der Funktion \(f=(f_1,f_2)\) bestimmen sollst (Bedenke, es ist dann ja gerade \(f(x,y)=(u,v)\), also \(f_1(x,y)=u\) und \(f_2(x,y)=v\). Beispielhaft ist die Ableitung von \(u\) nach \(x\) an der Stelle \((\frac{1}{2},0)\) also \(\frac{\partial f_1}{\partial x} (\frac{1}{2},0)\)). Der Satz über implizite Funktionen liefert dafür eine Formel



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