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Universität/Hochschule Zyklus Funktionentheorie
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-22


Guten Morgen, auf meinem aktuellen Übungszettel habe ich folgende Aufgabe:

Sei Ω ein beschränktes Gebiet. Dann sind äquivalent:
(a) Jeder Zyklus in Ω ist nullhomolog in Ω.
(b) Ist Ωc = A1 ∪ A2 mit A1 ∩ A2 = ∅, A1 abgeschlossen und A2 kompakt, so gilt A2 = ∅

wobei mit Ωc das Komplement gemeint ist.

Dazu wurden folgende Hinweise gegeben:

Hinweis zu (a) =⇒ (b): (Saks-Zygmund)
Hinweis zu (b) =⇒ (a): Man betrachte
A1 := {ξ ∈ Ωc: w(Γ , ξ) = 0}.)
Bemerkung: Man kann zeigen, dass die obigen Aussagen äquivalent sind zu:
(c) Ω ist einfach zusammenhängend.

Ich hab leider gar keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen soll oder zumindest an diese heran gehen soll (den Satz von Saks-Zygmund kann ich auch nicht finden). Zudem verstehe ich die Begriffe Kette und Zyklus nicht wirklich und kann mit diesen dementsprechend auch nicht umgehen.

Hat hier evtl. jemand eine Idee für die Aufgabe oder kann mir die Begriff Kette und Zyklus erläutern?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-22


Hallo,

Zykeln sind einfach nur formale Summen von geschlossenen Wegen. Allgemein kannst Du zu einer beliebigen Menge $X$ eine freie abelsche Gruppe aus den Ausdrücken $n_1x_1+\ldots n_kx_k;\ n_* \in\IZ,x_* \in X$ bilden. Das ist ein eher technischer Trick, um aus einer Menge eine Gruppe zu bilden. Im Fall der Zykeln ist $X$ die Menge aller geschlossener Wege. Lange Rede, kurzer Sinn: Statt "Jeder Zykel" kannst Du auch einfach "jeder geschlossene Weg" schreiben. Dieses sind gerade die erzeugenden der Gruppe.

zu a)=>b): Mit dem Hinweise kann ich auch nichts anfangen. Mein Tip: Fall es eine disjunkte Zerlegung $\Omega=A_1\cup A_2$ mit $A_1$ abgeschlossen, $A_2$ kompakt gibt. haben diese beiden Mengen einen echt positiven Abstadn $d(A_1,A_2)>0$. Daher gibt es eine offene $\varepsilon$-Umgebung von $A_2$, die disjunkt zu $A_1$ ist. In dieser Umgebung kannst Du einen Weg konstruieren, der die kompakte Menge umläuft und nicht nullhomolog in $\Omega$ ist.



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erik92
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Dabei seit: 09.05.2019
Mitteilungen: 136
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23


Hallo Tom,

vielen Dank für deine Antwort (besonders für die Erläuterung). a)=>b), so wie du es geschrieben hast hört sich für mich logisch an.

a)<=b)hab ich noch nicht aber ich wollte nachher einmal versuchen b)=>c) und c)=>a) zu zeigen. Dann bin ich ja auch fertig. (oder hättest du eine bessere Idee?)
Mal sehen wie weit ich komme smile

Erik



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-23


Das sollte schon die richtige Reihenfolge sein. Für b=>a ist der Hinweis ganz gut. c=>a sollte auch relativ kurz hingeschrieben werden können. Der größte Brocken ist b=>c. Ich würde damit anfangen, einen geschlossenen Weg homotop durch einen Streckenzug/Polygon zu ersetzen. Dann läßt sich b) etwas angenehmer anwenden.



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