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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Orthogonale Endomorphismen bilden Gruppe
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Universität/Hochschule Orthogonale Endomorphismen bilden Gruppe
Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Ich soll zeigen, dass die Menge der orthogonalen linearen Abbildungen f: V-->V mit der Komposition als Verknüfung eine Gruppe bildet. Es ist dabei (V, b) ein euklidischer Raum der Dimension n.
Es gilt hierbei dann immer
||f(v)||=||v||.
Muss ich die einzelnen Eigenschaften dann so prüfen:
Zum Beispiel die Assoziativität                                      ||f(v)||o                                                                (||g(w)o h(x)||)=||f(v)||o(||g(w)||o||h(x)||)=||v||o(||w||o||x||)=||v||o||w||o||x||= (||v||o||w||)o||x||=(||f(v)||o||g(w)||)o||h(x)||=(||f(v)o g(w)||)o||h(x)|| für alle v,w element V.

Oder wie zeige ich die Verknüpfung sonst?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24


Huhu Bibi,

zunächst einmal ist es sehr schwer zu lesen, wenn Du dich nicht des Feds oder LaTeX bedienst.

Und dann hast Du natürlich nicht zu zeigen, dass die mit der Norm verknüpften Endomorphismen sich assoziativ verhalten, sondern die Abbildungen selber. Du willst also etwa $f \circ ( g \circ h) = ( f \circ g) \circ h$ zeigen.

Eine andere Eigenschaft ist die Abgeschlossenheit der orthogonalen Endomorphismen unter der Komposition, hier könntest Du tatsächlich zeigen, dass für alle $v \in V$ jeweils gilt: $\| (f \circ g)(v) \| = \| v \|$, d.h., dass mit $f,g$ auch $f \circ g$ orthogonal ist.

lg, AK.



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PiusParabel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-25


Alles klar. Weil ich ja die Komposition als Verknüfung habe ist doch
||fog(v)||=||f(g(v))||=(b(f(g(v)),f(g(v)))^(1/2)= (b(g(v)),g(v))^(1/2)=(b(v,v))^(1/2)=||v||=||f(v)|| oder?
Und ist dann das neutrale Element die Identiät?
Und wie erhalte ich das inverse Element?



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25


Ja das sieht meiner Meinung nach richtig aus Pius. Hast du die gleiche Aufgabe und studierst du zufällig auch an der LMU?



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25


Wie man das Inverse erhält weiß ich leider auch nicht. Kann uns da jemand weiterhelfen?



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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25


Da \(f\) ein Endomorphismus ist, ist \(f\) genau dann bijektiv, wenn \(f\) injektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Kern trivial ist.

ist also \(v\in\text{Ker}(f)\), so \(f(v)=0\), dann kannst Du folgern, dass \(v=0\).

LG InOMatrix



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Ok dann ist das also die Inverse oder?
Und hat dann das neutrale Element so gestimmt wie Pius das geschrieben hat?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-26


Was meinst du mit "das"? Der Tipp von InOMatrix soll dahinführen, dass eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ mit $||f(v)||=||v||$ für alle $v\in V$ bereits bijektiv ist. Die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ist dann das Inverse von $f$. Dafür muss man noch zeigen, dass auch $f^{-1}$ die Eigenschaft $||f^{-1}(v)||=||v||$ für alle $v\in V$ besitzt.

Das neutrale Element ist die IdentiTät, das ist richtig. (Auch hier kann man schnell mal hinschreiben: $||id(v)||=||v||$ für alle $v\in V$)

Der Beweis von Pius bezüglich der Verkettung geht einfacher: Wenn $f$ und $g$ die Eigenschaft $||f(v)||=||v||$ und $||g(v)||=||v||$ für alle(!) $v\in V$ erfüllen, dann ist $||f\circ g(v)||=||f( g(v) )||= ||g(v)||=||v||$.


-----------------
Smile (:



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


gilt für das inverse dann

||f^(-1)(v)||=||f^(-1)(f(v))||=||(f^(-1)o f)(v)||=||v||
oder wie zeige ich das sonst?



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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-26


Hallo,

im Grunde ist das richtig, aber die erste Gleichung \(\|f^{-1}(v)\|=\|f^{-1}(f(v))\|\) ist nicht auf den ersten Blick klar, dass sie gilt. Da würde ich eher \(\|f^{-1}(v)\|=\|f(f^{-1}(v))\|\) vorschlagen, denn das ist klar dass das gilt nach Annahme von \(f\), das führt aber zum gleichen Ziel.

LG InOMatrix



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