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Strukturen und Algebra » Polynome » 2 Polynome multiplizieren, dann auswerten = Polynome einzeln auswerten, dann multiplizieren ( x ist Abb.)
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Universität/Hochschule 2 Polynome multiplizieren, dann auswerten = Polynome einzeln auswerten, dann multiplizieren ( x ist Abb.)
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Sei $f:V\rightarrow V$ ein Automorphismus, seien $p_1,p_2 \in K[x]$, wobei $K$ ein Körper ist.
Definiere $q=p_1 \cdot p_2$.
Gilt dann?: $q(f)=(p_1 \cdot p_2)(f)\overset{\text{?}}=p_1 (f) \circ p_2(f)=...$

Warum ja bzw. warum nein?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24


Hey,
schau dir mal diesen Wiki-Link an mit: $R=K$ und $S=\text{End}_K(V)$. Das sollte zum Ziel führen,

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-24


Hallo,

ich kenne mich nicht so gut in Algebra aus, kann mir aber vorstellen, dass es so funktioniert.

Seien \[p_1(X)=\sum_{k=0}^ma_kX^k\quad\text{und}\quad p_2(X)=\sum_{\ell=0}^nb_\ell X^\ell\] mit $a_k,b_k\in\mathbb{k}$. So gilt
\[(p_1\cdot p_2)(f) = \sum_{k=0}^ma_kf^k \cdot \sum_{\ell=0}^nb_\ell f^\ell = \sum_{k=0}^m \sum_{\ell=0}^n a_k b_\ell f^{k+\ell}.\] Wie geht es weiter?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24


Danke für eure Antworten, beide waren hilfreich :)

2019-05-24 17:14 - Creasy in Beitrag No. 1 schreibt:

schau dir mal diesen Wiki-Link an mit: $R=K$ und $S=\text{End}_K(V)$. Das sollte zum Ziel führen

Super Antwort ! :) Also folgt $(p_1\cdot p_2)(f)= p_1(f)\circ p_2(f)$ direkt aus der Homomorphieeigenschaft vom Einsetzungshomomorphismus.

Kannst du mir aber noch erklären, wie du $S=\text{End}_K(V)$ als Ringerweiterung von $K$ betrachten kannst? Ich hatte den Begriff Ringerweiterung bzw. Körpererweiterung(*) noch nicht.
Wie würdest du $K$ als Teilmenge von $S$ interpretieren?

(*)
Ich würde aus folgenden Gründen von einer Ringerweiterung sprechen:

Also $S$ bildet schon mal ein Monoid bzgl. der Kompositionsverknüpfung und mit $(f+g)(v)=f(v)+g(v)$ eine Gruppe bzgl. der Addition.
Distribitivgesetzte folgen aus der Linearität.
Also kann man $S$ als Ring auffassen.

Sei $S'$ die Menge der Automorphismen, dann hätte man in $S'$ sogar zu jeder Abbildung eine Umkehrabbildung(Inverses), aber es würde trotzdem an der Kommutativität scheitern, oder???
Also ist auch $S'$ kein Körper.



2019-05-24 17:15 - ochen in Beitrag No. 2 schreibt:

Seien \[p_1(X)=\sum_{k=0}^ma_kX^k\quad\text{und}\quad p_2(X)=\sum_{\ell=0}^nb_\ell X^\ell\] mit $a_k,b_k\in\mathbb{k}$. So gilt
\[(p_1\cdot p_2)(f) = \sum_{k=0}^ma_kf^k \cdot \sum_{\ell=0}^nb_\ell f^\ell = \sum_{k=0}^m \sum_{\ell=0}^n a_k b_\ell f^{k+\ell}.\] Wie geht es weiter?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

So sollte es passen:


$(p_1\cdot p_2)(f) = \sum_{k=0}^m \sum_{\ell=0}^n a_k b_\ell f^{k+\ell} \quad \quad\vert f^{k+\ell}=f^{k}\circ f^{\ell} \\
=\sum_{k=0}^m \sum_{\ell=0}^n a_k b_\ell (f^{k}\circ f^{\ell}) \\ \quad  \text{Komposition von linearen Abbildungen wieder linear}\\
=\sum_{k=0}^m \sum_{\ell=0}^n (a_k f^{k})\circ (b_\ell f^{\ell}) \\
=(\sum_{k=0}^m a_kf^{k} )\circ (\sum_{\ell=0}^n  b_\ell f^{\ell})= p_1(f)\circ p_2(f)\\
$



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-25


$K\subseteq \text{End}_K(V)$ funktioniert via $k\mapsto k\cdot \text{id}_V$.
Der Ring $S$ muss soweit ich weiß nicht kommutativ sein.

Grüße
Creasy



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

2019-05-25 00:42 - Creasy in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Ring $S$ muss soweit ich weiß nicht kommutativ sein.
man kommt auch mit einer schwächeren Bedingung aus, aber irgendeine Kommutativitätsbedingung ist schon notwendig: Ist $R$ ein beliebiger unitaler Ring, dann gilt im Polynomring $R[x]$ per Definition für alle $r\in R$ die Gleichung $rx=xr$. Für einen Ringhomomorphismus $f:R[x]\to S$ muss also $f(r)f(x)=f(x)f(r)$ gelten.

Mir ist nicht klar, warum in dem Wikipediaartikel verlangt wird, dass $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung ist.
Ich würde den Satz vom Einsetzungshomomorphismus (auch bekannt als universelle Eigenschaft des Polynomrings) so formulieren:

Sei $f:R\to S$ ein Morphismus von unitalen (nicht zwingend kommutativen) Ringen. Sei außerdem $s\in S$ so, dass $s$ mit allen Elementen im Bild von $f$ kommutiert.
Dann gibt es genau einen unitalen Ringhomomorphismus $\tilde f: R[x]\to S$ mit $\tilde f(x)=s$ und $\left.\tilde f\right|_R = f$.

\(\endgroup\)


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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-05-25 00:42 - Creasy in Beitrag No. 4 schreibt:
$K\subseteq \text{End}_K(V)$ funktioniert via $k\mapsto k\cdot \text{id}_V$.
Der Ring $S$ muss soweit ich weiß nicht kommutativ sein.
Danke :)


2019-05-25 02:08 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo,

2019-05-25 00:42 - Creasy in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Ring $S$ muss soweit ich weiß nicht kommutativ sein.
man kommt auch mit einer schwächeren Bedingung aus, aber irgendeine Kommutativitätsbedingung ist schon notwendig: Ist $R$ ein beliebiger unitaler Ring, dann gilt im Polynomring $R[x]$ per Definition für alle $r\in R$ die Gleichung $rx=xr$. Für einen Ringhomomorphismus $f:R[x]\to S$ muss also $f(r)f(x)=f(x)f(r)$ gelten.

Mir ist nicht klar, warum in dem Wikipediaartikel verlangt wird, dass $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung ist.
Ich würde den Satz vom Einsetzungshomomorphismus (auch bekannt als universelle Eigenschaft des Polynomrings) so formulieren:

Sei $f:R\to S$ ein Morphismus von unitalen (nicht zwingend kommutativen) Ringen. Sei außerdem $s\in S$ so, dass $s$ mit allen Elementen im Bild von $f$ kommutiert.
Dann gibt es genau einen unitalen Ringhomomorphismus $\tilde f: R[x]\to S$ mit $\tilde f(x)=s$ und $\left.\tilde f\right|_R = f$.



Hallo :)

Nur um sicherzugehen: Mit "unital" meinst du unitär, oder?

Habe den folgenden Beitrag bei meiner Recherche gefunden, in der deine Ansicht unterstützt wird:




Ich selbst habe zwar recherchiert, aber mir fehlt noch der Überblick um ordentlich argumentieren zu können.

2019-05-25 02:08 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:

Sei außerdem $s\in S$ so, dass $s$ mit allen Elementen im Bild von $f$ kommutiert.

Gibt es einen Namen für eine solche Menge?
Also für $M=\{y\in \text{im}(f) \vert ys=sy \} $  


Danke auch für deine Antwort:)
\(\endgroup\)


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