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Mathematik » Topologie » Mannigfaltigkeit Dimension eindeutig?
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Universität/Hochschule J Mannigfaltigkeit Dimension eindeutig?
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 506
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Hi,
falls ein topologischer Raum eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, kann er auch eine m-dimensionale Mfk. sein für \(m\neq n\)? Also ich hätte ein Argument warum das nicht sein kann, das benutzt aber dass offene Mengen in IR^n nicht homöomorph sein können zu offenen Mengen in IR^m (für n!=m). Falls die Aussage oben stimmt, kann man sie leichter beweisen (falls mein ''Beweis'' überhaupt stimmt)?

Red_



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1494
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24


 ... das benutzt aber dass offene Mengen in IR^n nicht homöomorph sein können zu offenen Mengen in IR^m (für n!=m).
Das ist richtig, kann aber meines Wissen nicht so einfach gezeigt werden. Der Beweis den ich kenne: Um zu zeigen, dass $\IR^n$ und $\IR^m$ nicht homöomorph sind, betrachten wir $\IR^n\backslash\{0\}$. Dieser Raum ist homotop zur Einheitssphäre $S^{n-1}$. Die Homologiegruppen der Sphäre sind null, ausgenomme $H_{n-1}$. Deshalb kann es keine Homöomorphismus zwischen $\IR^n\backslash\{0\}$ und $\IR^m\backslash\{0\}$ geben.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 506
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25


Hallo TomTom,
eigentlich geht es um meine erste Frage: Wenn ein topologischer Raum eine n-Mannigfaltigkeit ist, kann sie gleichzeitig eine m-Mannigfaltigkeit sein (mit m ungleich n)? Wie gesagt glaube ich, dass das nicht geht, denn wenn doch, so nehmen wir uns einen Punkt p und dann existiert eine offene Umgebung U_1, die homöomorph zu einer offenen Menge in IR^n ist und eine offene Umgebung U_2, die homöomorph zu einer offenen Menge in IR^m ist. Dann ist der Schnitt von U_1 und U_2 eine offene Umgebung von p und einerseits homöomorph zu einer offenen Menge im IR^n und zu einer in IR^m, d.h. die offene Menge in IR^n ist homöomorph zu der offenen Menge in IR^m, was aber wegen invariance of domain nicht geht. Geht dieser Argumentation durch? Gibt es eine einfacheren Beweis?

Edit: Die Frage hat sich erübrigt. hier steht unten genau das, was ich geschrieben habe und mit der selben Argumentation, d.h. es gibt wahrscheinlich keinen einfacheren Beweis.



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