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Analysis » Integration » Schnittmenge zweier gewisser Unterräume
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Universität/Hochschule Schnittmenge zweier gewisser Unterräume
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-25


Ein Beispiel aus einer Vorlesung zur Signalverarbeitung:
\(F[\rho]\) bezeichne die Fouriertransformation von der Funktion \(\rho\). Betrachtet werden die Räume \(X_b :=\) {\( \rho \in L^2(\mathbb{R},\mathbb{C}) : F[\rho](\omega)=0 ,\forall \omega:\vert \omega \vert \geq b\) }
und \(X_a :=\) {\(\rho \in L^2(\mathbb{R},\mathbb{C}): \rho(t) =0 , \forall t: \vert t \vert \leq a\) }

Zu zeigen ist: \(X_b \cap X_a ^{\perp} =\) {\(0\)}.

[Anmerkung: Im Skript zur zur Übung gehörigen Vorlesung wurde gezeigt:
Satz "1" : Sei \(\phi \in L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})\) mit Träger \(supp(\phi) \subset [-R,R]\), für ein reelles \(R\) , dann ist die komplexe Fouriertransformation \(\nu := \)\(F_\mathbb{C} [\phi] : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)  holomorph, und die Einschränkung \(\nu :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\) lokal analytisch.

Im Skript geht es dann weiter (Zitat Anfang): Aus Satz "1" folgt, dass jedes \(\rho \in X_b\) auch analytisch ist, und damit folgt aus dem Identitätssatz für analytische Funktionen, dass \(\rho \equiv 0\). (Zitat Ende)
]

Heisst das jetzt, dass einfach \(X_b = \){\(0\)} ist? Dann wäre man ja sofort fertig, weil \(0 \in X_a ^{\perp}\) ist... ( " \(0\) " ist die Nullfunktion)



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-26


Hallo mpc,
wenn im Skript stehen würde, aus Satz "1" folgt, dass jedes \(\rho \in X_b \cap X_a ^{\perp}\) ..., dann wäre die Schlussfolgerung \(\rho \equiv 0\) schon die gesuchte Lösung. Die Funktionen aus \(X_a ^{\perp}\) sind das nicht welche mit Träger im Intervall (-a,a) ?

Viele Grüße,
  Stefan



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo StefanVogel,
Ja, ich glaube, dass \(X_a^{\perp}\) die Funktionen mit Träger in \((-a,a)\) sind.
Ich glaube auch, dass ich die Lösung jetzt habe...
Sei \(f \in X_b \cap X_a^{\perp} \). Dann folgt eben , dass \(f\) Träger in \([-a,a]\) hat. Damit ist dieser Satz "1" auf \(f\) anwendbar, also \(F[f] : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\) lokal analytisch. Da \(f \in X_b\), hat die Nullstellenmenge von \(F[f]\) einen Häufungspunkt, und daher ist laut dem Identitätssatz \(F[f] \equiv 0 \) auf \(\mathbb{R}\).

Daraus müsste nun folgen, dass \(f \equiv 0\) ist, denn die Fouriertransformation ist ja (bei uns) als \(F[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-i \omega x} dx\) erklärt.

Das schaut für mich jetzt schon ziemlich richtig aus.
Danke StefanVogel!



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