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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilungsfunktion von poissonverteilter Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Verteilungsfunktion von poissonverteilter Zufallsvariablen
Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-25


Heyo :-D


Ich komme bei einer Aufgabe seit einer ganzen Weile nicht weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Ich habe zumindest einen Ansatz, aber weiß nicht, ob er stimmt.



Ich bearbeite die Aufgabe:

____________________________________________________________________
Es sei $\lambda > 0$. Für jedes $t > 0$ bezeichne $X_{t}$ die Anzahl radioaktiver Zerfälle im Zeitintervall $[0,t]$. Für jedes $t > 0$ sei $X_{t}$ poissonverteilt mit Parameter $\lambda t$.


Es sei $T$ der erste Zeitpunkt $t \ge 0$, zu dem sich ein solcher radioaktiver Zerfall ereignet.





____________________________________________________________________



Mein Ansatz zu a) ist folgender:
________________________________




Sowie ich den Text verstanden habe, ist $X_{t}$ die Anzahl radioaktiver Zerfälle im Zeitintervall $[0,t]$

Das heißt:


$X_{1}$ wäre die Anzahl radioaktiver Zerfälle im Zeitintervall $[0,1]$

$X_{2.5647}$ wäre die Anzahl radioaktiver Zerfälle im Zeitintervall $[0,2.5647]$


Und $X_{2.6} = 3$ wäre das Ereignis, dass im Zeitintervall $[0, 2.6]$ $3$ radioaktive Zerfälle stattfinden.


Habe ich das anhand dieser Beispiele richtig verstanden?


Die Dichtefunktion der Zufallsvariablen $X_{T}$ ist: $f(k) = \mathbb{P}(X_{T} = k)= e^{- \lambda T} \frac{\lambda T^{k}}{k!}$


Die Verteilungsfunktion wäre dann:


$F(k) = \mathbb{P}(X_{T} \le k) = f(0) + f(1) + \ldots + f(k) = \sum\limits_{m = 0}^{k} e^{- \lambda T} \frac{\lambda T^{m}}{m!} = e^{- \lambda T}  \sum\limits_{m = 0}^{k} \frac{\lambda T^{m}}{m!}  $



Stimmt das so, oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?



Bei der b) fällt mir aber leider nichts ein... Wie könnte ich da am besten vorgehen?


Ich bedanke mich schon mal im Voraus.





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

mal ein erster Tipp zur Aufgabe a). Diese hast du meiner Meinung nach komplett missverstanden.

Es ist ja hier \(T\) jetzt eine neue Zufallsvariable, die einen Zeitraum beschreibt (und keine Anzahl von irgendetwas). Und zwar denjenigen Zeitraum, der ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Zerfall vergeht. Da die Anzahl der Zerfälle im Mittel gleich ist (wegen der Poissonverteilung), sollte eigentlich bei dir irgendwo im Hintergrund eine Glühlampe blinken (deren Lebensdauer noch nicht abgelaufen ist ;-) ), die dir signalisiert, um welche Art von Verteilung es hier geht...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo  biggrin

Okay, danke für den Tipp.

Das ist echt verwirrend für mich, zu erkennen, was eine Zufallsvariable ist und was nicht, wenn nicht irgendwo geschrieben wird.


Ich kann mir die ganze Situation noch nicht so richtig vorstellen, deswegen versuche ich das erstmal mit einem Beispiel.


Also nochmal:


$X_{t}$ bezeichne die Anzahl radioaktiver Zerfälle im Zeitintervall $[0,t]$

Jetzt ist $X_{t}$ poissonverteilt.

Das heißt: $\mathbb{P}(X_{t} = k)= e^{- \lambda t} \frac{\lambda t^{k}}{k!}$



Jetzt nehmen wir ein Beispiel:


Sei $t = 0.551$ und $\lambda = 3$

$X_{t}= X_{0.551}$ ist dann die Anzahl radioaktiver Zerfälle, die sich im Zeitpunkt $[0, 0.551]$ ereignen.

Und nach Voraussetzung, die ich festgelegt habe, ereignen sich im Zeitpunkt $[0, 0.551]$ durchschnittlich $3$ radioaktive Zerfälle.

Ist das bis jetzt so okay?


Dann ist jetzt $T$ eine Zufallsvariable, die denjenigen Zeitraum beschreibt, der ab Beobachtungsbeginn bis zum ersten Zerfall vergeht.

Wie man diese Abbildung konkret ausschreibt, weiß ich nicht ganz.


Aber: Wenn $X_{t}$ die Anzahl der radioaktiven Zerfälle beschreibt, die sich im Zeitpunkt $[0,t]$ ereignen und $T$ den Zeitpunkt beschreibt, in dem sich der ERSTE radioaktive Zerfall ereignet, dann muss $T $
 das selbe sein wie $X_{t} = 1$ sein, oder?


Weil $X_{t} = 1$ beschreibt, dass sich nur ein radiokativer Zerfall im Zeitpunkt $[0, t]$ ereignet.

___________________________________________________________________

Nun weiß ich nicht genau, was du damit meinst, wenn du sagst, dass die Anzahl der Zerfälle im Mittel gleich ist.

Gleich zu was?  confused



Ich weiß bis jetzt eigentlich nur, dass im Durschnitt $\lambda \cdot t$ radioaktive Zerfälle sich im Zeitpunkt $[0, t]$ ereignen.


Ist es vielleicht das was du meinst?


Grüße, Boogie



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-26


Hallo,

ich mache es mal kurz und knapp.

Weshalb wohl steht in der Aufgabenstellung die Frage Welchen Namen hat die Verteilung von T?

Weil es sich nicht um eine Poissonverteilung handelt. Der Kalauer mit der Glühbirne war nämlich ein versteckter Tipp: es geht hier um eine Exponentialverteilung.

Auch diese wird durch einen einzigen Parameter beschrieben, und den sollst du bestimmen. Wie das geht, kannst du bspw. hier nachschlagen, wobei ich mal davon ausgehe, dass du da auch entsprechende Unterlagen haben solltest.


Gruß, Diophant



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Boogie541
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27


Hallo!


Ich habe mir den Wikipediaeintrag  durchgelesen. Also die Herleitung.

Ich habe mich den ganzen Morgen damit beschäftigt, das zu verstehen, aber irgendwie kann ich das nicht verinnerlichen.




Ich versuche kurz klar zu machen, wo mein Problem liegt. Ich habe versucht, mir die Herleitung an folgendem Beispiel klar zu machen.




$X_{t}$ eine poissonverteilte Zufallsvariable

Das heißt, es gilt: $\mathbb{P}(X_{t} = k) = e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t)^{k}}{k!}$

Also treten im Zeitpunkt $[0,t]$ mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit $k$ radioaktive Zerfälle ein.




Nun kann es eine Zeit dauern, bis der erste radioaktive Zerfall stattfindet. Diese Zeitspanne definiere ich als das Intervall $[0, t - s]$ mit $ s \in \mathbb{R}$






Und wenn der Zeitpunkt  $[0, t - s]$ verstreicht, DANN tritt der erste Zerfall ein.

Die Verteilungsfunktion, die wir suchen, gibt die Wahrscheinlichkeit der Länge des Intervalls $[0, t - s]$ an.



Das heißt, ich müsste eigentlich nur $\mathbb{P} (T \le t - s)$ berechnen, oder?



Aber wie genau mache ich das? In Wikipedia verstehe ich das überhaupt nicht..

mfg, Boogie






















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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-27

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Boogie,

nochmals: du musst zunächst verstehen, dass es sich hier um eine qualitativ andere Verteilung handelt. Es sieht mir nicht so aus, als hättest du das bereits verinnerlicht...

2019-05-27 14:40 - Boogie541 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich habe mir den Wikipediaeintrag  durchgelesen. Also die Herleitung.

Ich habe mich den ganzen Morgen damit beschäftigt, das zu verstehen, aber irgendwie kann ich das nicht verinnerlichen.

Ich versuche kurz klar zu machen, wo mein Problem liegt. Ich habe versucht, mir die Herleitung an folgendem Beispiel klar zu machen.

$X_{t}$ eine poissonverteilte Zufallsvariable

Das heißt, es gilt: $\mathbb{P}(X_{t} = k) = e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t)^{k}}{k!}$

Also treten im Zeitpunkt $[0,t]$ mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit $k$ radioaktive Zerfälle ein.


Nun kann es eine Zeit dauern, bis der erste radioaktive Zerfall stattfindet. Diese Zeitspanne definiere ich als das Intervall $[0, t - s]$ mit $ s \in \mathbb{R}$



Und wenn der Zeitpunkt  $[0, t - s]$ verstreicht, DANN tritt der erste Zerfall ein.

Die Verteilungsfunktion, die wir suchen, gibt die Wahrscheinlichkeit der Länge des Intervalls $[0, t - s]$ an.

Das heißt, ich müsste eigentlich nur $\mathbb{P} (T \le t - s)$ berechnen, oder?

Aber wie genau mache ich das? In Wikipedia verstehe ich das überhaupt nicht..

Du hast den Wikipedia-Eintrag nicht aufmerksam genug gelesen. Da wird für eine Poisson-verteilte ZV die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall \([w,w+\Delta w]\) genau gleich 1 ist.

Um in deiner Notation aus dem Themstart zu bleiben, muss man hier für die Zufallsvariable \(X_t\) die Wahrscheinlichkeit

\[P\left(X_t=1\right)\]
berechnen.

Es geht also insbesondere nach wie vor um das Zeitintervall \([0,t]\).

Der gesuchte Term ist dann die Dichtefunktion der gesuchten Exponentialverteilung, von der du laut Aufgabenstellung jedoch dann noch die Verteilungsfunktion berechnen musst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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