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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Anhand eines gegebenen Winkels 2 dazu passende Vektoren angeben
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Universität/Hochschule Anhand eines gegebenen Winkels 2 dazu passende Vektoren angeben
lewkas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-26


Hallo zusammen!

Ich habe ein schwerwiegendes Problem mit Aufgabenstellungen wie diesen (siehe Titel). Sobald es darum geht Vektoren selbst anzulegen weiß ich nicht wie ich vorgehen soll und ich versuche verzweifelt hunderte von möglichen Kombinationen um gegebenenfalls auf die richtige Lösung zu kommen, aber das nimmt viel Zeit und nerven in Anspruch.

Beispielaufgabe: Geben Sie zwei Vektoren an, die in einem Winkel von 30° zueinander stehen.

Dabei weiß ich das ich am Ende (Wurzel aus 3)/2 herausbekommen muss. Aber der Weg dort hin ist für mich unklar.

Tutorials zu diesem spezifischen Thema finde ich leider auch keine.

Vielleicht habt ihr gute Vorgehensweisen und könntet diese kurz erläutern, ich wäre euch dafür sehr dankbar!

PS: Ich bin neu hier, falls ich irgendwelche Fehler bezüglich meines Posts gemacht habe, weist mich gerne darauf hin! :-)

LG lewkas



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo lewkas und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Könntest du da vielleicht noch eine konkrete Aufgabenstellung posten? Ansonsten sei auf die in der Schule übliche Definition des Standardskalarpodukts verwiesen:

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\varphi)\]
wobei \(\varphi\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.

In eine praktische Vorgehensweise umgemünzt:

- Berechne den Kosinus des vorgegebenen Winkels
- Wähle einen festen Vektor und einen variablen
- Gehe damit in die obige Definition ein und bestimme die Variablen, bzw. drücke sie in Abhängigkeit voneinander aus wenn es mehrere sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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lewkas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo Diophant,

eine Beispielaufgabe habe ich gerade noch hinzugefügt. smile

Vielleicht wäre noch interessant zu wissen das wir keine Taschenrechner benutzen dürfen. Also Sachen wie den Kosinus zu berechnen wäre für mich nicht machbar.  biggrin

LG lewkas



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 436
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-26


Hallo

Mit dem Skalarprodukt kannst du leicht zwei Vektoren aufstellen. 5 der sechs koordinaten kannst du selbst festlegen, den 6. berechnen.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-26 10:15 - lewkas in Beitrag No. 2 schreibt:
Vielleicht wäre noch interessant zu wissen das wir keine Taschenrechner benutzen dürfen. Also Sachen wie den Kosinus zu berechnen wäre für mich nicht machbar.  biggrin

Falsch. So etwas wie \(\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\) sollte man auswendig wissen.

EDIT: von welchem Vektorraum sprechenw wir, \(\IR^2\) oder \(\IR^3\)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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lewkas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Selbstverständlich! Hatte wohl gerade einen kleinen Aussetzer, also die Werte sind mir bekannt.

Vektorraum fed-Code einblenden

Also wähle ich beispielsweise als festen Vektor fed-Code einblenden

was ist nun mit einem variablen Vektor gemeint?

LG lewkas



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ok, du hast den Einheitsvektor der z-Achse gewählt, dann bleiben wir doch mal in der y-z-Ebene und nehmen folgenden Vektor hinzu:

\[\vec{b}=\bpm 0\\y\\1\epm\]
Berechne jetzt von deinem Vektor und von meinem jeweils den Betrag, und dann noch das Skalarprodukt der beiden Vektoren (beides in Abhängigkeit von y).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 436
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-26


fed-Code einblenden



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lewkas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Also als Skalarprodukt der beiden Vektoren erhalte ich 1 und als Länge für Vektor a = 1 und für Vektor b = Wurzel aus(1+y^2)

Eingesetzt in die Formel wäre es dann ja -> 1=1*Wurzel aus(1+y^2) * ((Wurzel aus 3)/2)

Nun muss ich "einfach" ausflösen, ist das richtig?

Hallo Caban,

vielen Dank für deine Tipps. Ich versuche es erstmal auf diesem Weg um mich nicht zu verunsichern. :-)



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-26


Hallo lewkas,

bis hierher ist alles richtig.


Gruß, Diophant



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lewkas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.05.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Bekomme ich dann für y = 2-Wurzel(3)?



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Diophant
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Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

nein:

\[\ba
\sqrt{1+y^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}&=1\\
\\
\sqrt{1+y^2}&=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}\\
\ea\]
Jetzt quadriere mal und löse dann nach y auf.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Caban
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Mitteilungen: 436
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-26


Hallo

Nein, das stimmt so nicht, rechne mal vor.

Wenn du aber den Weg in Beitrag 7 benutzt, musst du eigentlich nichts rechnen.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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lewkas
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Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Kurze Frage vorab: Warum ist fed-Code einblenden

Wenn ich die obige Gleichung quadriere:

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Daraufhin bringe ich die 1 auf die andere Seite und ziehe anschließend die Wurzel, damit ich y bekomme:

fed-Code einblenden


EDIT: Könnte mir vielleicht auch noch jemand dazu sagen wie ich auf fed-Code einblenden



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

vorab zum Ergebnis: das ist richtig, aber nicht komplett. So muss es aussehen:

\[y=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\]
Zu deiner anderen Frage: in der Schule müsstest du vor langer Zeit im Zusammenhang mit der Einführung der Quadratwurzel Aufgaben mit der Anweisung "Mache den Nenner rational..." o.ä. bekommen haben.

Oben habe ich so gerechnet:

\[\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}\]
Wenn man ohne Taschenrechner arbeiten muss, tut man sich einen großen Gefallen, wenn man das strikt durchzieht.

EDIT:

2019-05-26 11:45 - lewkas in Beitrag No. 13 schreibt:
EDIT: Könnte mir vielleicht auch noch jemand dazu sagen wie ich auf fed-Code einblenden

\[\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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lewkas
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Vielen lieben Dank für die Hilfe. Ihr habt mir zu einem riesigen Fortschritt verholfen! :-D



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Gerhardus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.09.2010
Mitteilungen: 364
Aus: Wetterau
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-05-26


Nach dem vielen Rechnen zum Abschluss etwas zur Methode.
Basis ist die Formel aus Beitrag 1 und die algebr. Def. des Skalarproduktes.
Problem ist die Freiheit, Vektoren zu wählen. Mann kann Vektoren mit dem Betrag = 1 wählen, also fängt man mit dem Einheitsvektor (1;0) an. Die Komponenten des 2. Vektors müssen die algebr. Def. des Skalarproduktes ( =cos α) erfüllen (das bestimmt die 1. Komponente) und den Betrag = 1, was dann die 2. Komponente bestimmt.
 


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"Zu glauben, es gebe nur eine Wahrheit, ist von allen Illusionen die Gefährlichste." (Paul Watzlawick)



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