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Analysis » Funktionalanalysis » C^1([0,1]) dicht in C[0,1]?
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Universität/Hochschule C^1([0,1]) dicht in C[0,1]?
Zeder
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-26


Guten Tag Leute,
jetzt versuche ich zu beweisen dass C1([0,1]) dicht in C[0,1] ist.
So weit habe ich:
z.z. Zu jedem x in C[0,1] konvergiert eine Folge {xn} in C1[0,1].
Beweis versuch:
Nehmen wir an dass {fn} eine konvergiente in C1[0,1] ist die gegen x konvergiert.
Weil C1([0,1]) ist der Raum der 1-Fach differenzierbare Funktionen, wir können es mit dem folgenden Norm verstehen:
fed-Code einblenden
dann ist dass durch subadditivität kleiner gleich

fed-Code einblenden
aber die ganze konvergiert gegen x...
Muss ich anderes argumentieren, oder wie mache ich weiter?
Vielen Dank.





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InOMatrix
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2019
Mitteilungen: 31
Aus: Berlin, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-26


Hallo Zeder,

Du hast ja jetzt angenommen, dass eine Folge \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset C^0([0,1])\) existiert, die gegen \(f\in C^1([0,1])\) konvergiert. Aber das ist ja zu zeigen.

Die Behauptung folgt zum Beispiel aus Stone-Weierstraß, dass der Raum der Polynome dicht in \(C^0([0,1])\) liegt (und Polynome liegen ,,vielleicht" in \(C^1([0,1])\)).

Dürft ihr das zum Beweisen verwenden, oder hattet ihr einen solchen Satz noch nicht?

LG InOMatrix



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Zeder
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo InOMatrix,
Diese Satz haben wir noch nicht, also dürfen wir es nicht benützen. Ich bin mir wirklich nicht sicher wie es mit Folgen weiter geht, oder ob man es durch irgend eine andere Methode beweisen soll.
Falls mit Folgen, ich muss zeigen dass die Grenzwert liegt in fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
dann, aber wie?
Danke schön.



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InOMatrix
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2019
Mitteilungen: 31
Aus: Berlin, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-26


Hallo,

ich glaube Dir ist noch nicht ganz klar, was Du genau zeigen sollst. Ich vermute, dass Du davon ausgehst, dass Du (1) zeigen sollst, aber eigentlich musst Du (2) zeigen:

(1) Der Grenzwert jeder Folge stetig differenzierbarer Funktionen \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset C^1([0,1])\) ist stetig, d.h. es gilt \(f_n\to f\in C([0,1])\) für \(n\to\infty\).

(2) Für jede stetige Funktion \(f\in C([0,1])\) existiert eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset C^1([0,1])\), sodass diese Folge gegen \(f\) konvergiert, d.h. \(f_n\to f\) für \(n\to\infty\).

Diese Aussagen sind, auch wenn sie auf den ersten Blick etwas ähnlich aussehen, völlig verschieden.

Falls ihr in der Tat keine Aussagen zu dem Thema in der VL hattet, fällt mir als grundlegendes Konzept nur ein, sich eine Funktion \(f\in C([0,1])\) zu nehmen, im Beweis eine Funktionenfolge \(f_n\) zu konstruieren, sodass jede der \(f_n\) stetig differenzierbar ist, und anschließend zu zeigen, dass diese Folge in der Tat gegen \(f\) konvergiert.

Ich stelle mir die Umsetzung aber gerade etwas aufwändig vor. Hattet ihr in der Vorlesung keinen Satz über dichte Mengen, oder speziell über Eigenschaften von Funktionenräumen? Das wäre nämlich hilfreich, schaue sonst nochmal in Deinen Mitschriften nach.

LG InOMatrix



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8517
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Du könntest auch versuchen, die stetige Funktion \(f\) durch Streckenzüge zu approximieren (das geht, weil \(f\) gleichmäßig stetig ist) und  dann die Knicke durch Parabelbögen ersetzen (probier das erst mal an \(f(x)=|x|\) aus).

Wally
\(\endgroup\)


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Zeder
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo,
Danke. Ich verstehe ein bisschen bessar was ich zeigen muss.
Über dichtheit kennen wir dass den Abschluss eines dichtes Raumes das ganze Raum ist, und die Definition über Metrischen Räume.

Ich glaube ich habe bin bisschen weiter gekommen, dank deine Hinweis:
Nehmen wir eine Folge {fn} in fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Die Elementen in dieser Folge können als:
fed-Code einblenden
beschreiben werden - ich war von Taylor Reihe inspiriert.
Definieren wir der C1 norm wie obige:
Für f, g, funktionen in C1[(0,1)]:
fed-Code einblenden
Wir merken auch das f'(k) = f(k-1).
Weil der Nenner (k!) wächst schneller also das Zähler, ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Weil fed-Code einblenden fed-Code einblenden
Dann können wir auch sagen dass die Folgen  bezüglich der C([0,1]) Norm sind, und damit dass die Grenzwerte der C1([0,1]) Funktionen sind in C[0,1] wie gewünscht?
Auch eine Frage - hier schätzen wir die Funktionen als Polynomen durch die Taylorschätzung. Ist das breit genug?
Danke für deine Geduld.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8517
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Zeder,

leider bist du auf einem völlig falschen Weg.

Nimm mal als Intervall <math>[-1,1]</math> (das macht es hier leichter) und versuche, die stetige Funktion <math>f(x)=|x|</math> durch stetig differenzierbare Funktionen zu approximieren.

Wally
\(\endgroup\)


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Zeder
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo Wally,
Ich könnte f(x)= |x| mit sowas wie
fed-Code einblenden
approximieren, mit einen immer kleineren Konstante C, um die Schätzung zu verbessern.
Dann müss ich davon eine Folge konstruieren, und damit weiter gehen?
Auch, wie könnte ich mit dem Folge-methode weiter gehen? Ich glaube ich habe es falsch verstanden.
Danke schön.



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