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Mathematik » Stochastik und Statistik » Was ist das Gewicht einer Gauß-verteilten Wahrscheinlichkeitsdichte ?
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Autor
Universität/Hochschule J Was ist das Gewicht einer Gauß-verteilten Wahrscheinlichkeitsdichte ?
Lucky_7
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.01.2018
Mitteilungen: 140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-26 17:46


Wenn ich eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion betrachte, muss dann das Gewicht der Funktion genau eins sein?

Eine Gauß-Verteilung kann in Python folgendermaßen definiert werden:
python
import numpy as np
def gauss(x, weight, mu, sigma):
    return weight*np.exp(-(x - mu)**2/(2*sigma**2))

Und ich frage mich jetzt gerade, ob gelten muss: weight == 1
damit eine durch 'gauss' definierte PDF auch tatsächlich eine PDF darstellt.

Ich frage deshalb, weil mir nun gesagt wurde, dass bei einer Bimodal-Verteilung - also einer Verteilung, die sich aus zwei Gauß-verteilten Zufallsvariablen zusammensetzt - die Gewichte beider Gauß-Kurven zusammen addiert eins ergeben müssen. Damit das vielleicht klarer ist, hier die Definition einer Bimodalverteilung:
python
def bimodal(x, weight1, mu1, sigma1, mu2, sigma2):
    return gauss(x, weight1, mu1, sigma1)+ gauss(x, 1-weight1, mu2, sigma2)




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1223
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-27 10:04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Lucky_7,

das ganze scheint mir eher eine Python- denn eine Stochastikfrage zu sein.

Wenn die Funktion (bzw. Methode?) np für die Dichte der Normalverteilung zu den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) steht, dann sollte doch eigentlich der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\) da schon 'eingepreist' sein?

Du kannst es aber leicht selbst ausprobieren, indem du deine Funktion ohne den Vorfaktor weight an der Stelle \(x=\mu\) auswertest. Wenn du da den Wert für \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\) bekommst, dann muss dein Parameter weight gleich 1 sein oder man kann ihn weglassen (letzteres kann ich aber nicht beurteilen, das war rein mathematisch gemeint).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Anaconda
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 20
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-27 12:17


Hallo Lucky_7,

wenn du die Dichte einer Gaussverteilung mit Parametern $\mu$ und $\sigma^{2}$ implentieren möchtest, musst du ja insbesondere dafür sorgen, dass das Integral über diese Funktion 1 ist.
Das heißt, dass du $\texttt{weight}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}$ setzen musst.
Dieser hängt ja nur von der Varianz ab. Deswegen würde ich das nicht als zusätzlichen Parameter deiner Funktion $\texttt{gauss}$ implementieren.

Grüße.


-----------------
Anaconda = PythonX = PythonY ≠ PythonZ



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Lucky_7
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.01.2018
Mitteilungen: 140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27 12:28


Hey,

ihr habt recht, ich habe vermutlich einen Fehler gemacht und sollte die Gauß-Verteilung vielmehr so definieren:
python
import numpy as np
def gauss(x, mu, sigma):
    return 1/np.sqrt(2*np.pi*sigma**2)*np.exp(-(x - mu)**2/(2*sigma**2))

@Diophant: Das numpy Modul (np) ist lediglich eine Art Bibliothek, in der einige Funktionen bereits definiert sind. über np.exp rufe ich lediglich eine Exponentialfunktion auf und über np.sqrt die Wurzelfunktion. Auf mein Gewicht für die Gaußverteilung hat numpy keinen Einfluss.

Ich habe allerdings immer noch folgendes Problem:
Die Gewichte der beiden Gaußverteilungen in einer Bimodalverteilungen sollen - so wurde mir das mal gesagt - zusammen 1 ergeben. Vielleicht irre ich mich hier aber auch, ich konnte das leider nicht verifizieren. Wenn diese Gewichte aber zusammen 1 ergeben sollen,wie definiere ich dann die Bimodalverteilung?




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1223
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-27 12:53


Hallo,

wie schon gesagt: von Python habe ich keine Ahnung (und wir sind hier im Stochastik-Forum). Also, was den weight-Faktor angeht, würde ich dann sagen, dass der Hinweis von Anaconda der richtige ist.

Wenn du jetzt eine bimodale Verteilung additiv aus zwei Normalverteilungen erzeugst, dann musst du die beiden Dichtefunktionen noch darüberhinaus, also mit einem zusätzlichen Faktor gewichten. Denn die Fläche unter dem entstehenden Schaubild muss ja nach wie vor gleich 1 sein (sonst wäre es ja keine Wahrscheinlichkeitsdichte mehr).

Also muss die Summe dieser zusätzlichen Gewichte gleich 1 sein, das hat aber mit der Variablen 'weight' dann nichts zu tun (sofern ich den Teil mit dem Python-Quelltext soweit richtig verstanden habe).


Gruß, Diophant



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Lucky_7
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.01.2018
Mitteilungen: 140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27 13:40


Ah, verstehe. Dann müsste ich meine Implementierung der Bimodal-Verteilung folgendermaßen ändern:
python
def bimodal(x, weight1, mu1, sigma1, mu2, sigma2):
    return weight1*gauss(x, mu1, sigma1)+ (1-weight1)*gauss(x, mu2, sigma2)

Mathematisch sieht das dann ja so aus:
\[W1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_1^2}} \cdot e^{\frac{-(x-\mu_1)^2}{2 \sigma_1^2}} + (1-W1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_2^2}} \cdot e^{\frac{-(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}}\]
Passt das?

Tut mir übrigens leid, wenn ich das falsche Forum gewählt habe. Es ist ja schon eine Stochastik-Frage, nur die Implementierung ist mir natürlich auch wichtig.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1223
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-27 13:46

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

mathematisch passt das jetzt. Im Quelltext kann ich jetzt den (gemeinsamen) Faktor \(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\) nirgends entdecken.

Aber das wirst du besser wissen.

Es ist ja kein Problem bzw. durchaus sinnvoll, das hier zu posten. Ich wollte mit meiner dahingehenden Bemerkung nur darauf aufmerksam machen, dass die Mitglieder, die im Stochastik-Forum antworten, eventuell von Programmiersprachen weniger verstehen als von Stochastik (das gilt jedenfalls für mich).  wink


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Lucky_7
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27 14:24


alles klar, vielen Dank Diophant!




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