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Universität/Hochschule Levi-Civita-Zusammenhang
Pelikan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-29


Hallo zusammen,

Ich möchte gerne nachweisen, dass der Levi Civita tatsächlich die fünf Eigenschaften erfüllt, die wir gerne hätten. Dazu schaue ich mir \(\nabla_X Y \) in lokalen Koordinaten an: \(\nabla_X Y = \sum_{i,k} X^i (\sum_j Y^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial Y^k}{\partial X^i}) \frac {\partial}{\partial X^k}\). Linear in beiden Argumenten, Tensoriell in der ersten und Torsionsfreiheit habe ich hinbekommen. Zu derivativ und metrisch habe ich allerdings noch ein paar Fragen und ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Derivativ in der zweiten Komponente:
\[\nabla_X fY = \sum_{i,k} X^i (\sum_j fY^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial fY^k}{\partial X^i}) \frac {\partial}{\partial X^k} = \sum_{i,k} X^i (\sum_j fY^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k+\frac{\partial Y^i}{\partial X^i}f) \frac {\partial}{\partial X^k} = \sum_{i,k} f X^i \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k (\sum_j Y^i \Gamma_{ij}^k+\frac{\partial Y^i}{\partial X^i}) \frac {\partial}{\partial X^k}\]
1. Hier komme ich grad nicht mehr weiter.. es steht ja schon fast da, aber ich hätte ja gerne \(\nabla_X fY = df(X)Y + f\nabla_X Y\). Wobei der erste Term die Ableitung von f in Richtung X ist. Wie sähe das überhaupt in lokalen Koordinaten aus? Es müsste gelten \(df(X)Y = \sum X^i \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k\) ?

Für metrisch möchte ich zeigen, dass \(Z.g(X,Y)=g(∇_ZX,Y) +g(X,∇_ZY)\) ist. Wobei \(Z.g(X,Y) = dg(X,Y)(Z)\). Also die Ableitung von g(X,Y) in Richtung Z.
2. Gleiches wie oben, wie sieht denn die linke Seite aus? Ich komme mit diesem df(X) einfach noch nicht ganz klar..

für die rechte Seite habe ich :

\[g(∇_ZX,Y) +g(X,∇_ZY)= g(\sum_{i,k} Z^i (\sum_j X^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial X^k}{\partial Z^i}) \frac {\partial}{\partial Z^k}, Y) + g(X, \sum_{i,k} Z^i (\sum_j Y^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial Y^k}{\partial Z^i}) \frac {\partial}{\partial Z^k})\]
3. Hier komme ich nicht mehr weiter.. Vor allem weil ich ja gar nicht weiß wo ich hin möchte auf der linken Seite. Meine Vermutung ist, dass wir da jetzt Linearität benutzen und einiges aus dem g ziehen..


Vielen Dank für jeden der mir helfen möchte!

Pelikan



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Pelikan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-30


Mir ist eben aufgefallen, dass ich oben einen kleinen Fehler gemacht habe, ich schreibe es noch mal ausführlich hin:

Ich möchte zeigen, dass \(\nabla_X fY = df(X)Y + f \nabla_X Y\).
Bisher habe ich

\[\nabla_X fY = \sum_{i,k} X^i (\sum_j fY^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial fY^k}{\partial X^i}) \frac {\partial}{\partial X^k} = \sum_{i,k} X^i (\sum_j fY^i \Gamma_{ij}^k + \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k+\frac{\partial Y^i}{\partial X^i}f) \frac {\partial}{\partial X^k} = \sum_{i,k}  X^i \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k \frac {\partial}{\partial X^k} + f X^i (\sum_j Y^i \Gamma_{ij}^k+\frac{\partial Y^i}{\partial X^i}) \frac {\partial}{\partial X^k} = \sum_{i,k}  X^i \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k +  f \nabla_X Y\]
Ist das denn soweit korrekt? Jetzt müsste ja gelten, dass \(df(X)Y = \sum X^i \frac{\partial f}{\partial X^i}Y^k \frac {\partial}{\partial X^k}\), aber hmm... komme leider einfach nicht weiter. Das gleiche Problem dann bei metrisch. Aber zumindest beim ersten Teil habe ich das Gefühl, dass ich fast am Ziel bin?

Viele Grüße
Pelikan



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