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Analysis » Funktionen » Maximierung der Fläche zwischen einer Funktion und der zugehörigen linearen Näherung
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Universität/Hochschule Maximierung der Fläche zwischen einer Funktion und der zugehörigen linearen Näherung
Freddy2400
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Mitteilungen: 91
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-30


Hallo liebe Matheplanet-Community,

ich bin auf ein recht interessantes mathematisches Problem gestoßen, dessen Lösung ich bisher nicht finden konnte. Es geht darum, von allen auf dem Intervall $[a, b]$ monoton steigenden Funktionen die Funktionen zu finden, die die größte Abweichung von der zugehörigen linearen Näherung hat.

Sei $f: [a, b] \to [0, 1]$ eine monoton steigende Funktion und $y_f: [a, b] \to \Bbb R,\,\,x \mapsto \alpha x + \beta$ die zugehörige lineare Näherung mit den Konstanten $\alpha$, $\beta \in \Bbb R$. Dabei sind die Koeffizienten $\alpha$ und $\beta$ bestimmt dadurch, dass sie

$\int_a^b (f(x) - y_f(x))^2 dx$

minimieren. Ich habe die Konstanten $\alpha$ und $\beta$ bestimmt. Sie sind von der Form

$\alpha = \alpha_1 \int_a^b f(x) dx + \alpha_2 \int_a^b x f(x)$

und

$\beta = \beta_1 \int_a^b f(x) dx + \beta_2 \int_a^b x f(x)$,

wobei $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$ und $\beta_2$ nur von $a$ und $b$ abhängen. Die Fläche zwischen $f$ und $y_f$ ist gegeben durch

$A(f) = \int_a^b |f(x) - y_f(x)|dx.$

Hat jemand von euch eine Idee, wie man das Maximum von $A(f)$, also

$\max(\{A(f), f: [a, b] \to [0, 1], \,\,f\,\,\text{monoton steigend}\})$

bestimmen kann? Meine Vermutung ist, dass eine Funktion der Form $f(x) = \theta(x - x')$ mit $x' \in [a, b]$ das Maximum von $A(f)$ liefert.

Viele Grüße,
Freddy2400.

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