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Integration » Integration im IR^n » Mehrdimensionale Integration / Satz von Fubini
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Universität/Hochschule J Mehrdimensionale Integration / Satz von Fubini
Juviole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-02


Hallo,
ich stehe diese Woche bei allem irgendwie auf dem Schlauch.

fed-Code einblenden
ist das Integral was zu berechnen ist. Explizit muss dazu gesagt wurde uns, den Satz von Fubini zu verwenden. Nun frage ich mich inwiefern ich denn überhaupt genau weiß , dass ich ihn anwenden kann? Reicht dafür schon die Stetigkeit von \(f(x_1,x_2)\)?

Wenn dies also gegeben ist, dann kann ich erst das eine Integral nach dx_2 und dann das andere Integral nach dx_1 über die Lösung des ersten Integrals berechnen oder andersrum.
Mein Ansatz wäre, erstmal die Reihenfolge zu vertauschen und dann das innere Integral fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
zu berechnen. Was passiert dann mit der unteren Grenze des zweiten Integrals, damit ich das auch noch ausrechnen kann?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-02


Huhu Juviole,

Stetigkeit alleine reicht nicht, du brauchst Integrierbarkeit, also auch Beschränktheit. Was du dann machen willst ist sinnlos, wie auch Buri schon (in #3) dort festgestellt hat:

matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=164416

Hilft dir dieser Beitrag schon? Zeichne dir ansonsten auch das Integrationsgebiet auf. Viel Erfolg!

Gruß (und einen schönen Sonntag wünscht),

Küstenkind



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Juviole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-02


Danke dir, Kuestenkind!

Das hilft tatsächlich schonmal ein ganzes Stück. f ist ja vom Sinus beschränkt, nur die uneigentlichen Integrale existieren nicht?

Das Integrationsgebiet ist ja einfach nur fed-Code einblenden



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-02


Huhu,

deinen ersten Satz verstehe ich nicht wirklich, was aber auch daran liegen könnte, dass ich gerade zu lange in der Sonne lag...

Wenn das Integrationsintervall kompakt ist, dann reicht natürlich auch Stetigkeit, denn eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar. Du könntest also wie Buri auch in 5# vorgeschlagen hat mit einer Indikatorfunktion arbeiten. Du machst dann das Integrationsgebiet künstlich zu einem Quadrat, wo man dann direkt per Fubini die Integrationsreihenfolge vertauschen kann. Anschließend verkleinert man dann wieder das Integrationsgebiet gemäß der Information der Indikatorfunktion; also etwa so:

\(\displaystyle \int\limits_0^1 \int\limits_{x}^1 y^2\sin\left(\frac{2\pi x}{y}\right) ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 1_{\{y\geq x\}} \cdot y^2\sin\left(\frac{2\pi x}{y}\right) ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 1_{\{y\geq x\}} \cdot y^2\sin\left(\frac{2\pi x}{y}\right) ~ \dd x ~ \dd y\\ = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 1_{x\leq y} \cdot y^2\sin\left(\frac{2\pi x}{y}\right) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^1 \int\limits_0^{y} y^2\sin\left(\frac{2\pi x}{y}\right) ~ \dd x ~ \dd y\)

Gruß,

Küstenkind



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Juviole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-02


Das mag sicherlich auch daran liegen, dass ich schon sehr lange heute daran saß..

So ganz genau habe ich das mit der Indikatorfunktion nicht verstanden, muss ich sagen (und das, obwohl ich echt jeden Thread zu dem Thema las, den ich fand). Ich komme mithilfe deines letzten Posts auf eine Lösung die mir plausibel erscheint (null), aber ich kann immer noch so gaaarnicht nachvollziehen, warum. Da werde ich nochmal in der Uni nachfragen, ich will das echt liebend gerne verstehen. :D



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