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Universität/Hochschule J Eigenschaften der äußeren Ableitung
Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-03


Hallo Leute,

ich könnte wieder Mal Hilfe bei einer kleinen Aufgabe benötigen, die da lautet:
Zeige, dass \(d: H^1(M,g) \rightarrow \tilde{L}(M,g) , u \mapsto du\) linear stetig ist.

Hierbei gilt: \(H^1(M,g) = \lbrace u \in L^2(M,g) | \exists du \in \tilde{L}^2(M,g) \rbrace\)
und \(\tilde{L}^2(M,g) = \lbrace x: M \rightarrow T^*M | \int_M ||x||^2 dv_g < \infty \rbrace\)

Bei der Linearität weiß ich nicht so wirklich wie ich anfangen soll, da wir keine andere Definition für die Funktion aufgeschrieben haben, aber \(d(u_1+u_2) = du_1+du_2\) und \(d(tu) = tdu\) kann ja wohl nicht die Lösung sein und bei der Stetigkeit bin ich am Zweifeln, dass das \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium hier funktioniert, Hilfe wäre super und Danke dafür.

Schöne Grüße
Alif



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Hallo Leute,

ich bin bei der Aufgabe immer noch nicht weiter, aber vielleicht kann mir jemand weiterhelfen, indem man einfach mal allgemein die äußere Ableitung betrachtet ohne diese Räume, dann muss schließlich Linearität und Stetigkeit auch beweisbar sein.
Würde man mit einem solchen Beginn denn richtig fahren:
\(d(v+w) = d(\sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} (a_{i1...ik}+b_{i1...ik}) dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik}) = \sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} \sum_{j=1}^n \frac{\partial (a_{i1...ik}+b_{i1...ik})}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik} = \sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} \sum_{j=1}^n (\frac{\partial a_{i1...ik}}{\partial x_j} + \frac{\partial b_{i1...ik}}{\partial x_j}) dx_j \wedge dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik} = \sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} \sum_{j=1}^n \frac{\partial a_{i1...ik}}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik} + \sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} \sum_{j=1}^n \frac{\partial b_{i1...ik}}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik} = d(\sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} a_{i1...ik} dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik}) + d(\sum_{1<i_1\leq…\leq i_k<n} b_{i1...ik} dx_{i1} \wedge … \wedge dx_{ik}) = dv + dw\)
Sollte das bis hierhin richtig sein, sollte auch der zweite Teil der Linearität kein Problem sein, so muss ich mir nur noch Gedanken machen, welchen Sinn die vorgegebenen Räume haben.
Wäre allerdings immer noch toll, wenn mir jemand bei der Stetigkeit weiterhelfen könnte, und sollte dies falsch sein natürlich auch hier.
Danke für alle Hilfe jeder Art.

Schöne Grüße
Alif



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-04


Hallo Alif,

ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich helfen kann, aber ich versuche es trotzdem mal.

Bei der Definition von $\tilde{L}(M,g)$ sollte man doch noch fordern, dass die Funktion $M\rightarrow \mathbb{R},p\mapsto \|x(p)\|^2$ messbar ist, damit das Integral überhaupt Sinn ergibt. Bei der Definition von $H^1(M,g)$ erschließt sich mir nicht, was genau $\exists du\in \tilde{L}^2(M,g)$ bedeuten soll. Wie ist das $du$ hier definiert? Als schwache Ableitung, also über eine 'partielle Integrationsregel'?

Ich kenne die Sobolevtheorie für Mannigfaltigkeiten so, dass man die entsprechenden Räume als Vervollständigung der glatten Räume in Bezug auf die definierten Normen definiert. Im klassischen Fall stimmen die Räume überein, aber ob das bei Mannigfaltigkeiten auch so ist oder man noch irgendwelche Forderungen an die Geometrie stellen muss, weiß ich leider nicht.

Wenn man mit der Definition per Vervollständigung arbeitet, kann man ohne Einschränkung annehmen, dass die Funktion $u$ glatt ist, bzw. den Operator:

$d: \left(C^{\infty}(M),\|\cdot\|_{H^1}\right)\rightarrow \left(\Omega^1(M),\|\cdot\|_{L^2}\right)$

betrachten, wobei $\Omega^1(M)$ den Raum der glatten $1$-Formen auf $M$ bezeichnet. Wenn $M$ nicht kompakt ist, muss man sich hier auf die glatten Funktionen einschränken, die endliche $H^1$-Norm haben. Falls man zeigen kann, dass dieser Operator stetig und linear ist, so folgt nach einem Standardsatz der Funktionalanalysis die Behauptung für die Vervollständigung der Räume.

Die Linearität hast du schon gezeigt, man muss wirklich nur in lokalen Koordinaten arbeiten wie du es gemacht hast (manchmal wird die äußere Ableitung auch axiomatisch definiert, dann ist die Linearität Teil der Definition). Jetzt musst du nur noch die Stetigkeit zeigen. Bei linearen Abbildungen ist Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit, d.h. zeige, dass es ein $c>0$ gibt, sodass:

$\|du\|_{L^2}\leq c \|u\|_{H^1}$ (quadriere am besten beide Seiten, um die Wurzeln loszuwerden)

Ich habe eigentlich ausschließlich immer mit kompakten Mannigfaltigkeiten gearbeitet, da gibt es verschiedene Möglichkeiten, die $H^1$-Norm einzuführen (was auf äquivalente Normen führt), daher bin ich mir nicht ganz sicher wie ihr genau (im nicht-kompakten(?) Fall) die $H^1$-Norm definiert habt? Mit Hilfe lokal $g$-orthonormaler Rahmen+ kovarianter Ableitungen+ Partition der Eins?

In jedem Fall wird die Beschränktheit darauf hinauslaufen, dass man die Definition des Integrals hinschreibt bis dort eine Integration über den $\mathbb{R}^n$ steht und man 'störende' bzw. 'fehlende' Terme gegebenenfalls dadurch entfernen/hinzufügen kann, dass man ausnutzt, dass die Partition der Eins kompakten Träger haben. Aber dazu müsste man sich das ganze im Detail anschauen. Evtl. muss man beim nicht-kompakten Fall etwas mehr aufpassen, da dort die Partition der Eins nicht unbedingt endlich ist.

Womöglich gibt es auch einen 'koordinatenfreien' Weg die Beschränktheit nachzuweisen, aber ich sehe leider nicht wie (wobei das wieder von der genauen Definition der $H^1$-Norm abhängen könnte).

Hoffe das hilft zumindest ein bisschen.

Edit: Ich merke, dass mein Vorgehen so nicht richtig ist. Die Abbildung $d:H^1(M,g)\rightarrow \tilde{L}^2(M,g)$ (wie auch immer sie genau bei euch definiert sein mag) muss a priori natürlich nicht gerade die stetige, lineare Fortsetzung des Operators $d:C^{\infty}(M)\rightarrow \Omega^1(M)$ sein. Daher wird man wohl nicht umhin kommen direkt mit $H^1(M,g)$ zu arbeiten.

Viele Grüße

doglover



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Hallo Doglover,

Danke dir soweit für deine Hilfe, genau genommen fehlt bei der Linearität noch die Eigenschaft, dass ich eine Konstante herausziehen kann (ich mache das immer lieber getrennt), aber am Ende ist schon klar, dass es funktioniert. Zu deiner Frage \(du\) ist die schwache Ableitung definiert über die Integration, also wie du es geschrieben hast. Außerdem ist es auch gut zu wissen, dass ich Stetigkeit mit Beschränktheit zeigen kann,  hierzu versuche ich jetzt einfach mal mein Glück:
\(||du||_{L^2}^2 = \int_M (du)^2 dv_g \leq \int_M (du)^2 dv_g + \int_M g^*(du,du) dv_g \leq c(\int_M u^2 dv_g + \int_M g^*(du,du) dv_g) = c(||u||_{L^2}^2 + ||du||_{\tilde{L}^2}^2 = c||u||_{H^1}^2\)
Ich vermute allerdings, dass da noch etwas fehlt, vielleicht ist es auch folgende Formel aus dem Skript, die Helfen könnte:
\(\int_M [du(X)+udiv(X)] dv_g = 0\)
Ich gehe davon aus, dass die Idee um Beschränktheit zu zeigen noch nicht ganz zielführend ist, dafür fehlt mir ein bisschen die Kenntnis, welche Norm größer ist, vor allem, wenn dann auch zwischen Ableitung und nicht Ableitung zu unterscheiden ist, vielleicht fällt dir bei der Stetigkeit noch etwas ein, insbesondere mit der Formel, aber die Linearität hätte ich schon mal, was immerhin die halbe Aufgabe ist.

Schöne Grüße
Alif



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Hallo Doglover,

nachdem in der Aufgabe definiert ist: \(d: H^1(M,g) \rightarrow \tilde{L}^2(M,g) , u \mapsto du\), müsste man, um Beschränktheit zu zeigen nicht eigentlich \(||du||_{\tilde{L}^2} \leq u||u||_{H^1}\) zeigen?

Sollte dies der Fall sein, wäre das nämlich mit unseren Definitionen für die Normen ganz einfach:
\((u,v)_{L^2} = \int_M uv dv_g\)
\((u,v)_{\tilde{L}^2} = \int_M g^*(u,v) dv_g\)
\((u,v)_{H^1} = (u,v)_{L^2} + (du,dv)_{\tilde{L}^2}\)

Dann müsste folgendes doch eigentlich schon die ganze Lösung sein:
\(||du||_{\tilde{L}^2}^2 \leq ||u||_{L^2}^2 + ||du||_{\tilde{L}^2}^2 \leq c(||u||_{L^2}^2 + ||du||_{\tilde{L}^2}^2) = c||u||_{H^1}^2\)

Danke dir nochmals für eine Rückmeldung, wäre wirklich super, solltest du zu dieser Formel, die ich im vorherigen Beitrag erwähnt habe eine Idee haben, wäre das auch ganz super, denn die aktuelle Lösung der Linearität ist zwar einfach, beinhaltet aber nichts, was der Professor mit uns besprochen hat, also jedenfalls Danke dir für weitere Hilfe und Input.

Schöne Grüße
Alif



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-05


Hallo Alif,

ich habe mein Halbwissen ein bisschen aufgefrischt und vergiss wieder einfach was ich über kovariante Ableitungen etc. gesagt habe. Das braucht man nur, wenn man den $H^1$-Raum für Formen beliebigen Grades definieren möchte. Für Funktionen vereinfacht sich die mir vorliegende Definition der $H^1$-Norm auch zu $\|u\|^2_{H^1}=\|u\|^2_{L^2}+\|du\|^2_{L^2}$. Damit ist die Beschränktheit aber sofort gegeben, wie du auch festgestellt hast (man kann insbesondere $c=1$ wählen).

Um die Linearität für $H^1(M,g)$-Funktionen zu zeigen, musst du die definierende Eigenschaft benutzen, die du auch zitiert hast. Seien also $u,v\in H^1(M,g)$ und $\lambda\in \mathbb{R}$. Per Definition ist $u+\lambda\cdot v\in L^2(M,g)$ und es existieren $du,dv\in \tilde{L}^2(M,g)$. Wir wollen zeigen, dass $d(u+\lambda\cdot v)=du+\lambda\cdot dv$. Letzteres ist ein Element von $\tilde{L}^2(M,g)$. Daher musst du einfach nachrechnen, dass $du+\lambda\cdot dv$ die definierende Eigenschaft von $d(u+\lambda\cdot v)$ besitzt (also die von dir zitierte partielle Integrationsregel erfüllt). Das folgt mit der Linearität des Integrals.

$\underline{\text{Nachtrag zu meinem ersten Beitrag}}$: Man kann auf $C^{\infty}(M)$ die Norm $\|u\|^2_{H^1}:=\|u\|^2_{L^2}+\|du\|^2_{L^2}$ definieren, wobei $du$ in diesem Fall die gewöhnliche äußere Ableitung von $u$ ist. Man kann dann die Linearität des Operators $d:C^{\infty}(M)\rightarrow \Omega^1(M)$ nachrechnen, wie du es getan hast und auch die Beschränktheit bzgl. der $H^1$-$L^2$-Norm folgt sofort. Wenn man also $H^1(M,g):=\overline{C^{\infty}(M)}^{\|\cdot\|_{H^1}}$ und $L^2\Omega^1(M,g):=\overline{\Omega^1(M)}^{\|\cdot\|_{L^2}}$ als die Vervollständigung der Räume bzgl. der gegebenen Normen definiert (für $M$ nicht kompakt muss man sich auf die glatten Formen einschränken für die die Normen endlich sind), so gibt es eine eindeutige, stetige, lineare Fortsetzung $d:H^1(M,g)\rightarrow L^2\Omega^1(M,g)$ des Operators $d$. Für beliebiges $u\in H^1(M,g)$ kann man nun eine Folge $(u_n)_n\subset C^{\infty}(M)$ (mit endlicher $H^1$-Norm) finden, die gegen $u$ in $H^1$ konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit des Operators $d$ und der Stetigkeit von Normen folgt:

$\|u\|^2_{H^1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n\|^2_{H^1}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\|u_n\|^2_{L^2}+\|du_n\|^2_{L^2})=\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n\|^2_{L^2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\|du_n\|^2_{L^2}$
$=\|u \|^2_{L^2}+\|du\|^2_{L^2}$.

Also gilt auch bei dieser Herangehensweise an die Sobolevtheorie, dass $\|u\|^2_{H^1}=\|u\|^2_{L^2}+\|du\|^2_{L^2}$ für alle $u\in H^1(M,g)$.

Viele Grüße

doglover



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-06


Hallo Doglover,

ich versuche hier die Linearität mit besagter Formel zu zeigen, außerdem hätte ich noch eine andere Frage bezüglich Raumerweiterung.

Zuerst ein neuer Versuch die Linearität zu zeigen:
\(\int_M [d(u+\lambda v)(X) + (u+\lambda v)div(X)] dv_g = \int_M d(u+\lambda v)(X)dv_g + \int_M (u+\lambda v)div(X) dv_g = \int_M du(X)dv_g + \int_M d\lambda v(X)dv_g + \int_M udiv(X)dv_g + \int_M \lambda vdiv(X)dv_g = \int_M du(X)dv_g + \int_M \lambda dv(X)dv_g + \int_M udiv(X)dv_g + \int_M \lambda vdiv(X)dv_g = \int_M (du+\lambda dv)(X) dv_g + \int_M (u+\lambda v)div(X) dv_g = \int_M [(du+\lambda dv)(X) + (u+\lambda v)div(X)] dv_g\)
Sollte etwas noch nicht stimmen, erkläre es mir, bitte.

Und meine andere Frage, wäre schön, wenn du dir dieses Mal dafür Zeit nehmen könntest, da sie nicht wirklich aufwendig ist:
Sei \(\Omega \subset (M^n,g)\) offen und \(u \in H_0^1(\Omega,g) \Rightarrow \overline{u} \in \begin{cases} u \ in \ \Omega \\ 0 \ in \ M \setminus \Omega \end{cases} \in H_0^1(M,g)\)

Ich muss nun also zeigen: \(\overline{u} \in H_0^1(M,g)\)
Meine Idee:
Sei \(\lbrace x_n \rbrace_n \subset C^{\infty}(M,g)\) mit \(supp(x_n)\) kompakt und \(\lbrace x_n \rbrace_n \rightarrow \overline{u}\) in \(||.||_{H^1(M,g)}\)
Sei \(\lbrace y_n \rbrace_n \subset H^1(M,g)\) mit \(supp(y_n)\) kompakt
\(\Rightarrow \lbrace x_n \rbrace_n = \lbrace y_n \rbrace_n \rightarrow \overline{u}\) in \(||.||_{H^1(M,g)}\)
\(\Rightarrow \overline{u} \in H_0^1(M,g)\)
Mir ist allerdings nicht wirklich klar, warum die Folgepfeile nach der Definition der Folgen gelten.

Danke dir für weitere Hilfe (oder auch jedem anderen).

Schöne Grüße
Alif



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-06


Hallo Alif,

so darfst du nicht die Linearität zeigen. Schon mit dem Term mit dem die Gleichungskette startet, schreibst du $d(u+\lambda v)$, aber du willst ja gerade zeigen, dass $d(u+\lambda v)$ existiert. Hier geht es darum zu zeigen, dass:

$\int_M (du+\lambda dv)(X)+(u+\lambda v)\text{div}(X)d\text{v}_g=0$.

Wenn diese Gleichung gilt, dann folgt nach eurer Definition von $d$, dass $d(u+\lambda v)$ existiert und gerade durch $du+\lambda dv$ gegeben ist.

Zur zweiten Frage: Ich nehme an $H^1_0(M,g)$ ist der Abschluss der $C^{\infty}$-Funktionen mit kompakten Träger bzgl. der $H^1$-Norm. Die Idee ist, die approximierende Folge $(x_n)_n$ die $u$ in $\Omega$ approximiert durch $0$ außerhalb von $\Omega$ auf $M$ fortzusetzen. Dies definiert eine Folge von glatten Funktionen $(y_n)_n$ mit kompakten Träger in $M$. Da $\bar{u}$ und alle $y_n$ identisch $0$ sind außerhalb von $\Omega$ hat man $\|y_n-\bar{u}\|_{H^1(M)}=\|x_n-u\|_{H^1(\Omega)}$, wobei letzteres gegen $0$ geht für $n$ gegen unendlich.

Viele Grüße

doglover



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-07


Hallo Doglover,

das zweite glaube ich verstanden zu haben, das ist im Prinzip ja auch nur noch ein Schritt, der mir für diesen Beweis gefehlt hat.
Das erste verstehe ich allerdings nicht so ganz, soll das heißen, dass ich zeigen muss: \(\int_M (du+\lambda dv)(X)+(u+\lambda v)div(X)dv_g=0 \Rightarrow \int_M d(u+\lambda v)(X)+(u+\lambda v)div(X)dv_g=0\)
Ich werde mir es zwar morgen nochmal genauer ansehen, verstehe bei der aktuellen Formulierung nicht so wirklich, was zu zeigen ist, vielleicht könntest du mir mal einen Ansatz, also etwas wie einen ersten Rechenschritt oder so geben.
Danke dir, aber auch, wenn du bis morgen nicht schreibst, werde ich mein Glück versuchen und hoffentlich verstehen, was du meinst.

Schöne Grüße
Alif



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-07


Hallo Doglover,

ich habe mir nochmal Gedanken gemacht, aber anscheinend habe ich eine Blockade und komme nicht auf den richtigen Gedanken, könnte man aber nachdem das im Integral nur die Ableitung der Divergenz ist, nicht einfach die Linearität der Divergenz ausnutzen?
\(div((u+\lambda v)(X)) = div(uX)+div(\lambda vX) = div(uX) + \lambda div(vX) = du(X)+u div(X) + \lambda dv(X)+\lambda v div(X) = (du+\lambda dv)(X) + (u+\lambda v)div(X)\)
Sollte das auch wieder weit weg vom Gefragten sein, wäre ich doch über einen Rechenansatz, eine Anleitung, oder was auch immer ganz froh.
Zu meiner zweiten Frage auch noch eine kurze Nachfrage:
Die Eigenschaften, so wie ich sie den Folgen x und y zugeteilt habe, passen?
Danke dir nochmals für eine Rückmeldung.

Schöne Grüße
Alif



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-07


Hallo Alif,

um es in aller Deutlichkeit zu sagen, das Meiste von dem was du schreibst, ist eine Katastrophe. Und zwar alleine schon vom logischen Aufschrieb her (ich rede nicht davon, dass du Schwierigkeiten mit dem Stoff hast, denn deshalb stellst du hier ja Fragen):

Betrachte die Aufgabe: Seien $A,B\in \mathbb{R}^{n\times n}$ invertierbare Matrizen. Zeigen Sie: $A\cdot B$ ist invertierbar und die Inverse ist gegeben durch $B^{-1}\cdot A^{-1}$.

Wenn du so eine Aufgabe löst, fängst du den Beweise nicht mit:

$(A\cdot B)^{-1}(A\cdot B)=\dots$

an. Denn sobald du $(A\cdot B)^{-1}$ hinschreibst, setzt du voraus, dass dieser Ausdruck existiert, was es aber gerade zu zeigen gilt. Ein Beweis wäre:

(i) Es gilt $(A\cdot B)\cdot (B^{-1}\cdot A^{-1})=\dots=Id$. (in den Zwischenschritten nutzt man dann, die Eigenschaften von $A$ und $B$ aus)
(ii) Es gilt $(B^{-1}\cdot A^{-1})(A\cdot B)=\dots=Id$.

Aus (i) und (ii) folgt, dass $B^{-1}\cdot A^{-1}$ sowohl die Rechts- als auch die Linksinverse von $A\cdot B$ ist und daher per Definition der Inversen, existiert diese und es gilt $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$.

Der Nachweis der Linearität in deinem Fall ist vom Anforderungsniveau nicht höher als die obige Aufgabe aus der linearen Algebra I.

Definition: Sei $f\in L^2(M,g)$, so sagen wir, dass $df$ existiert, falls es ein $w\in \tilde{L}^2(M,g)$ gibt, sodass:

$\int_M w(X)+f \text{div}(X) dv_g=0$ gilt für alle glatten Vektorfelder $X$ mit kompaktem Träger in $M$. Falls so ein $w$ existiert, setzen wir $df:=w$.

In unserem Fall ist $f=u+\lambda v$ und wir wollen zeigen, dass $du+\lambda dv=d(u+\lambda v)$ gilt. Also müssen einfach in die linke Seite der obigen Gleichung $w=du+\lambda dv$ einsetzen und nachrechnen, dass dort stets $0$ rauskommt. Die Logik ist ganz analog zur LA I Aufgabe von oben. Die Linearität des Integrals wirst du benutzen müssen (so wie man die Assoziativität der Matrixmultiplikation benutzen muss bei der Beispielaufgabe).

Die Linearität der Divergenz brauchst du auch nicht, da nur der Term $\text{div}(X)$ beim Nachrechnen auftaucht.

Was du zur zweiten Aufgabe in Beitrag no. 6 schreibst, ist Gelinde gesagt Unfug.

2019-06-06 11:02 - Alif in Beitrag No. 6 schreibt:

Ich muss nun also zeigen: \(\overline{u} \in H_0^1(M,g)\)
Meine Idee:
Sei \(\lbrace x_n \rbrace_n \subset C^{\infty}(M,g)\) mit \(supp(x_n)\) kompakt und \(\lbrace x_n \rbrace_n \rightarrow \overline{u}\) in \(||.||_{H^1(M,g)}\)
Sei \(\lbrace y_n \rbrace_n \subset H^1(M,g)\) mit \(supp(y_n)\) kompakt
\(\Rightarrow \lbrace x_n \rbrace_n = \lbrace y_n \rbrace_n \rightarrow \overline{u}\) in \(||.||_{H^1(M,g)}\)
\(\Rightarrow \overline{u} \in H_0^1(M,g)\)
Mir ist allerdings nicht wirklich klar, warum die Folgepfeile nach der Definition der Folgen gelten.


"Sei $(\lbrace x_n \rbrace_n \subset C^{\infty}(M,g))$ mit $(supp(x_n))$ kompakt und $(\lbrace x_n \rbrace_n \rightarrow \overline{u})$ in $(||.||_{H^1(M,g)})$"

Du musst gerade zeigen, dass solch eine Folge überhaupt existiert, denn aus der Existenz einer solchen Folge folgt die zu zeigende Behauptung. Du kannst einen Beweis nicht damit anfangen, dass du behauptest das zu Zeigende gelte, um daraus schlusszufolgern, dass das zu Zeigende gilt...

"Sei $(\lbrace y_n \rbrace_n \subset H^1(M,g))$ mit $(supp(y_n))$ kompakt
$\Rightarrow \lbrace x_n \rbrace_n = \lbrace y_n \rbrace_n$"

Du nimmst irgendeine beliebige weitere Folge $(y_n)_n$ aus $H^1(M,g)$ und schlussfolgerst, dass diese Folge mit $(x_n)_n$ übereinstimmt? Nehme an $M$ sei kompakt. Das würde bedeuten, dass es nur eine einzige Folge in $H^1(M,g)$ gibt und (da man sonst Folgeglieder vertauschen könnte, um eine neue Folge zu generieren) muss $H^1(M,g)$ aus einem einzigen Element bestehen und da $0$ sicherlich in diesem Raum liegt, folgt $H^1(M,g)=\{0\}$...

Das stimmt ganz sicher nicht!

Was danach folgt, ist eine Tautologie. Du behauptest im ersten Schritt die Existenz einer Folge $(x_n)_n$ mit den gewünschten Eigenschaften, um zu zeigen, dass eine solche Folge existiert... wozu du da überhaupt ein $(y_n)_n$ eingeführt hast, ist absolut unklar.

Wie man es richtig macht, habe ich in meinem letzten Beitrag skizziert. Die einzige Schwierigkeit liegt in dem Nachweis, dass $\|\bar{u}-y_n\|_{H^1(M)}=\|u-x_n\|_{H^1(\Omega)}$.

Da $M\setminus \overline{\Omega}$ eine offene Menge ist und $\bar{u}$ und $y_n$ auf dieser Menge $0$ sind, ist klar dass $dy_n$ und $d\bar{u}$ auf $M\setminus \overline{\Omega}$ auch $0$ sein müssen. Nun ist $\Omega$ eine beliebige offene Teilmenge von $M$ und könnte daher einen sehr hässlichen Rand haben. Man kann also nicht argumentieren, dass $\partial\Omega$ eine Nullmenge ist und daher das Integral über den Abschluss von $\Omega$ mit dem Integral über $\Omega$ übereinstimmt. Klar ist, dass $dy_n$ auch auf dem Rand von $\Omega$ verschwindet. Man muss sich also überlegen, dass $d\overline{u}|_{\Omega}= du$ und $d\overline{u}|_{M\setminus \Omega}\equiv 0$. Das muss man mit der Definition nachrechnen und dabei die Tatsache benutzen, dass $u$ in $H^1_0(\Omega)$ liegt.

In einem anderen Thread hattest du auch geschrieben, dass dir nicht klar war, dass die Metrik $g$ punktweise ein Skalarprodukt definiert. Das ist aber gerade die Definition einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Das heißt, du hast dir nicht einmal die Mühe gemacht, die deutsche oder englische Wikipedia Seite aufzumachen und die Definition durchzulesen. Absolut alles in diesem Kurs baut auf dieser Definition auf. Und wenn die Vorlesungen auf Spanisch sind, dann solltest du doch gerade dann alternative Quellen zu Rate ziehen, die du auch verstehst. Riemannsche Geometrie ist keine Spezialität spanischer Schulen!

Wenn jemand bei dir um Rat zu obiger linearer Algebra Aufgabe bäte, würdest du doch auch annehmen, dass die Person weiß, was Invertierbarkeit bedeutet? Jetzt stell dir vor, du erklärst dieser Person was und es stellt sich heraus, dass die Person nicht einmal weiß, was eine Matrix ist. Dann wärst du auch etwas perplex.

Was ich damit sagen will ist, weder ich noch sonst jemand hier kann dir sinnvoll helfen, wenn du nicht einmal die grundlegenden Definitionen kennst und einfach nur nach irgendwelchen Formeln aus dem  Skript suchst, die vielleicht oder vielleicht auch nicht anwendbar sein könnten.

Ich lege dir wärmstens ans Herz dich bei dem deinem Prof via E-Mail oder persönlich nach einer Vorlesung zu melden und nach einer englischen Literaturempfehlung zu fragen. Oft sind Teile von Vorlesungen an ausgewählte Kapitel aus Büchern angelehnt. Lass dich vom Englisch nicht abschrecken, da kommt sehr schnell rein und ich nehme an du beherrschst Englisch besser als Spanisch.

Das war jetzt ein etwas längerer Beitrag und ich will dich auch nicht demotivieren, aber du musst dich wirklich ranhalten, wenn du den Stoff verstehen willst. Eine Quelle in einer bekannten Sprache ist eine Grundvoraussetzung, damit du was verstehen kannst (selbst damit kann es schwer sein etwas zu verstehen), also ist es kein Wunder, wenn es bei dir momentan nicht gut klappt.

Beste Grüße

doglover



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Alif
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Hallo doglover,

ich würde diesen Beitrag nicht als demotivierend bezeichnen, ich würde da noch eine Ecke weiter gehen und ihn milde gesagt als beleidigend bezeichnen. Mir geht es jetzt auch nicht darum dich hier zurechtzuweisen.
Sagen wir es aber mal so, wenn mein Professor so etwas zu mir sagen würde, würde ich mir auch denken, dass er keine Ahnung vom unterrichten hat.

Aber jetzt ein paar Absätze um mich jetzt mal wenigstens etwas zu verteidigen, schließlich ist das hier schon das zweite mal, dass ich so einen Beitrag lese und ein Professor hat mir auch schon mal vom Master abgeraten, aber gerade deshalb will ich das auch durchziehen, also im Prinzip ist das nur zusätzliche Motivation.

Die Aufgabe 1 bin ich mir zu 99% sicher, dass ich gestern noch gelöst habe, aber das war sicher nicht dein Verdienst, auch wenn man wirklich nur die Linearität des Integrals anwendet, die 2 habe ich nur teilweise, wobei ich hier auch mal sagen muss, dass ich deinen Kommentar dazu etwas unverständlich finde, ein Verbesserungsvorschlag, ordne alles der Reihenfolge nach.

Und zu deinen letzten Anmerkungen, denkst du ich habe nicht versucht gewisse Fachbegriffe auf Google zu suchen, aber manchmal gibt es keine deutschen Treffer oder sie sind für mich ebenfalls unverständlich, da wichtige Schlagworte fehlen.

Eine weitere Anmerkung, diese Vorlesung findet etwa 200km von hier entfernt statt, weshalb ich sie nur über Livestream verfolgen kann.
Daher kann ich den Prof nur per E-Mail anschreiben und gerade deshalb, habe ich auch zu dieser Vorlesung dieses Semester mehrere Fragen reingestellt, wobei kaum eine davon beantwortet wurde.

Wenn ich sonst Probleme habe, frage ich entweder in der Vorlesung oder ich schaue im Büro des Profs vorbei, was aber hier nicht geht.
Literatur wurde uns auch gegeben, allerdings ebenfalls auf spanisch.

Um hier nicht zu ausschweifend zu werden (ich möchte heute noch Sport mit deutscher Beteiligung sehen, da das gestern die letzte Abgabe mit Deadline war), füge ich nur hinzu, dass ich meinen Bachelor habe, also kann ich wohl nicht ganz blöd sein, außerdem weiß ich, dass meine Art, wie ich beweise aufschreibe nicht ganz schön ist, aber gerade im Ausland sind die Normen etwas anders als in Deutschland und um es mir leicht zu machen, kopiere ich einfach den Text und ersetze englisch durch deutsch, ja ich hatte auch schon mit englischer Literatur zu tun.

Ich könnte hier noch lange weitermachen, aber das ist nicht der Sinn der Seite und in wenigen Minuten geht das Spiel los, also danke für deine Hilfe, und wenn du noch mehr kritisieren willst nur zu, denn positive Seiten an meinen Beiträgen gibt es offensichtlich nicht.

Schöne Grüße
Alif



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-06-08


Hallo Alif,

meine Kritik war durchaus auch objektiv, als auch konstruktiv. Ich habe ganz genau die logischen Fehler in deinen Beweisversuchen in diesem Thread dargelegt und dir auch ein Beispiel gegeben, wie man so einen Beweis richtig führt.
Du hast buchstäblich einen Beweis der folgenden Form gegeben:

Es gelte die Behauptung. Daher gilt die Behauptung.

Das ist einfach logisch falsch. Das hat nichts damit zu tun, dass die Deutschen pingelig sind. Wenn es in Deutschland logisch falsch ist, dann auch überall sonst. Auch gibt es einen Unterschied zwischen "nicht schön" aufgeschriebener Lösung und einer falschen Lösung. Eine Argumentation der obigen Form ist einfach falsch und hat nichts mit unsauberem Lösungsaufschrieb zu tun.

Mir erschließt sich nicht, warum du nicht einfach sagst: 'Ja, die Art und Weise, wie ich die Lösungen in diesem Thread aufgeschrieben habe sind falsch und ich nehme das als Anlass, um daraus zu lernen und es beim nächsten Mal besser zu machen.'
Stattdessen redest du dich heraus: Deutsche Pingeligkeit und 'mein Aufschrieb ist nicht sauber'.
Wenn jemand das Benennen von Verfehlungen als Beleidigung auffasst und nach Ausreden sucht, beraubt man sich selbst jeder Chance darauf an sich Selbst zu wachsen.

Wenn ich dir empfehle englische Literatur zu Rate zu ziehen, dann nicht deshalb, weil ich dir unterstelle blöd zu sein, sondern weil du in dem anderen Thread, auf den ich auch Bezug genommen habe, behauptet hast, du wüsstest nicht, was eine Riemannsche Metrik ist, weil die Vorlesung auf Spanisch sei und du wohl den Dozent nicht verstanden hast. Natürlich suggeriert so eine Antwort, dass du versuchst den Stoff nur mit Hilfe der Vorlesung zu verstehen.
Wenn du nicht weißt, was eine Riemannsche Metrik ist, dann gibst du den spanischen Begriff in Google ein, gehst auf die Wikipediaseite und stellst die Sprache auf Deutsch. Die Tatsache, dass du die grundlegendste Definition dieser Vorlesung nicht kennst, hat absolut nichts mit irgendwelchen Sprachbarrieren oder Entfernungen zu tun. Es ist einzig und allein DEIN Versäumnis. Da scheinst du auch einfach nur nach Ausreden zu suchen (Sobolevtheorie auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist aber meines Wissens nicht wirklich ein "Standardthema", daher kann es durchaus sein, dass es schwer ist weiterführende Definitionen, Sätze etc. zu suchen).

Noch ein persönlicher Rat, den du dir zu Herzen nehmen oder ignorieren kannst:

Deine Motivation ein Mathematikstudium erfolgreich zu absolvieren, sollte in erster Linie darin Bestehen, dass du es selbst möchtest und nicht, um einem Fremden im Internet (der, ganz nebenbei, niemals behauptet hat du könntest es nicht schaffen) etwas zu beweisen.

Zu deinem letzten Satz:

"und wenn du noch mehr kritisieren willst nur zu, denn positive Seiten an meinen Beiträgen gibt es offensichtlich nicht."

Es ist niemals sinnvoll im Leben, sich nach einer Kritik in eine Opferrolle zu begeben und sein Gegenüber mit solchen Äußerungen manipulieren zu wollen. Dadurch ändert sich an der Gesamtsituation nichts.
Denk über das nach, was ich geschrieben habe, lass die Kritik, die deiner Meinung nach unzutreffend ist an dir 'abprallen' und das was übrig bleibt, nimm als Anlass, um zu wachsen.

Ich hatte durchaus die Absicht dir mit meinen letzten Beitrag (und auch mit diesem) zu helfen.

Du kannst noch gerne auf diesen Post eingehen und ich werde es mir auch durchlesen. Aber da dies alles Off-Topic ist, werde ich in diesem Thread nicht darauf reagieren.

Dieser Post ist als Klarstellung gedacht, weil du sagtest, mein letzter Post sei beleidigend gewesen und ich würde dir unterstellen dumm zu sein. Daher öffentlich.

Viele Grüße

doglover



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-09


Hallo Doglover,

ich finde es in erster Linie beleidigend, weil ich der Meinung bin, dass man so etwas nicht öffentlich schreiben sollte.
Insbesondere, weil wir auch nicht wissen, wer das liest, werde ich jetzt die Stellen, an denen du mich offensichtlich falsch verstanden hast nochmal erklären, aber dann hat sich das für mich auch erledigt, schließlich stelle ich hier Fragen, um Hilfe zu bekommen und nicht, um belehrt zu werden.
Der Vollständigkeit halber, klar werde ich mir manche Punkte zu Herzen nehmen, aber manches ist schlichtweg falsch von dir.

Wenn ich deinen ersten Satz aus dem letzten Kommentar zitieren darf:
"um es in aller Deutlichkeit zu sagen, das Meiste von dem was du schreibst, ist eine Katastrophe. Und zwar alleine schon vom logischen Aufschrieb her (ich rede nicht davon, dass du Schwierigkeiten mit dem Stoff hast, denn deshalb stellst du hier ja Fragen)"
Darunter verstehe ich, dass es dir um Verständnis und Logik geht, und nicht darum, ob es richtig oder falsch ist, darum stelle ich schließlich diese Fragen, und dass ich mit mathematisch logischem Aufschrieb meine Probleme habe, weiß ich, daher freut es mich, dass an meiner Uni in Deutschland nur noch mündliche Klausuren gemacht werden.

Dass mein Aufschrieb hier nicht schön ist, weiß ich, aber ich wiederhole nochmals, wenn du Aufgabenstellungen und Lösungsansätze in anderen Sprachen nimmst und diese nur schnell übersetzt so gut wie möglich, wird das ganze natürlich auch noch etwas schlimmer als vorher, von deutscher Pingeligkeit habe ich nie etwas behauptet, das der Aufschrieb in anderen Ländern allerdings anders ist, kann ich aus eigener Erfahrung sagen.

Um auf dein Beispiel mit der Riemannschen Metrik einzugehen, dieser Begriff ist nicht einmal in der Landessprache im Skript, daher war das einzige, was ich suchen konnte g(u,v), was leider nicht zielführend ist. Vielleicht wurde es mal erwähnt, aber leider verstehe ich nicht alles.

Ich habe auch nie behauptet, dass meine einzige Motivation den Master zu machen durch dich, besagten Prof und andere Leute kommt, das ist nur zusätzliche Motivation. Hättest du bevor du mir geantwortet hast etwas nachgedacht, hättest du auf die Idee kommen können, dass alle Leute, die mich kritisiert haben, sich erst gemeldet haben, als ich mindestens schon im ersten Fachsemester war, also muss es eine andere Motivationsquelle geben, welche natürlich die Spezialisierung in den Themengebieten ist, die mich besonders interessieren...

Ich habe nie gesagt, dass ich deinen Rat komplett nutzlos finde, ich finde nur, dass man so etwas nicht öffentlich schreiben sollte (du kannst mir auf dieser Seite auch persönliche Nachrichten schreiben, so wie es auch andere Leute schon getan haben). Ich wiederhole jetzt aber auch nochmals, dass ich für beide Aufgaben mindestens Teile gelöst habe und das war dann doch nicht durch deine Beträge möglich, sondern einfach durch scharfes Nachdenken und eigene Ideen.

An dieser Stelle hätte ich mich auch gar nicht mehr gemeldet, wenn es keine Punkte mehr gäbe, an denen die Realität schlicht verdreht wird, und nachdem ich an allen diesen Punkten schlechter dastehe, wollte ich das nicht so stehen lassen, schließlich kann das jeder lesen. Vielleicht nimmst du aus diesem Beitrag aber den Rat mit Kommentare dieser Art nicht öffentlich zu schreiben und den Leuten lieber eine persönliche Nachricht zu schreiben, wenn das jetzt nämlich Leute lesen, die mich kennen, oder von meiner Uni, stehe ich, wenn sie mich an meinem Schriftbild erkennen, ziemlich dämlich da, daher Danke, wenn du dir meinen Rat zu Herzen nimmst.

Schöne Grüße
Alif



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