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Integration » Integration im IR^n » Parametrisieren eines Dreiecks zur Integration
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Universität/Hochschule Parametrisieren eines Dreiecks zur Integration
Hotweb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-03


Guten Tag,
Ich habe folgende Aufgabe für HöMa2:

Gegeben ist ein Dreieck mit den Ecken (0,0), (1,1) und (-1,-1).
a) Bestimme fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
In dem du zu erst nach y integrierst.

b) Selbe wie in a) nur zu erst nach x integrieren

c) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Mein Problem liegt dabei das ich nicht sicher weiß wie ich die Grenzen setzen soll. Ich hatte es zu erst mit [-1,1] und [0,1] gemacht, jedoch kam ich bei Aufgabenteil c) damit nicht weiter und meine Tutorin meinte das, dass so nicht stimmt. Sie hat mir dann den Tipp gegeben es mit [-|x|,|x|] zu machen. Jedoch versteh ich nicht wirklich wie man darauf kommt und wie ich das dann für Aufgabenteil b) abändere.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2342
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-03

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Hotweb,

hm. Die Punkte \((-1,-1)\), \((0,0)\) und \((1,1)\) bilden aber kein Dreieck, sondern liegen auf einer Geraden.

Tippfehler?

Ansonsten nimmt man bei dreieckigen Gebieten Geradengleichungen als Grenzen. Um das hier auszuarbeiten, sollten wir aber zuerst die Koordinatenfrage klären.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2543
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-03


Hallo,

schreibe zunächst die Aufgabenstellung richtig ab. Das was dort steht, ist kein Dreieck. Dann zeichne das Dreieck. Sieht es so aus?
<math>\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,1.5);
\draw[-latex] (-1,0) -- (1.5,0);
\draw[fill = white!70!blue](0,0) -- (-1,1) -- (1,1) -- cycle;
\draw[red] (-0.5,0.5) -- (0.5,0.5);
\end{tikzpicture}
</math>
Dann guckst du dir für ein konkretes $y\in [0,1]$ an, wie die Grenzen in $x$ dazu aussehen. Bei dem oben gezeichneten Dreieck sind $[-\frac 12,\frac 12]$ die Grenzen in $x$ für $y=\frac{1}{2}$.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Hotweb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-03


Sry war ein Tippfehler

Hier nochmal die ganze Aufgabe:



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2342
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-03

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Hotweb,

hast du denn so gar keine eigene Idee für einen Ansatz?

Ich hätte mal eine Idee für a) und b). Der Funktionsterm

\[f(x,y)=x^2y\]
ist ja offensichtlich zur y-Achse bzw. zur y-z-Ebene symmetrisch. Genauso das Integrationsgebiet. Das könnte man ausnutzen, um in beiden Fällen bspw. nur über das rechte Teildreieck \((0,0)\), \((1,1)\), \((0,1)\) zu integrieren.

Fange mal mit a) an, die ist in Sachen Schranken für das innere Integral etwas einfacher.

Das Resultat muss man dann in beiden Fällen am Ende noch mit 2 multiplizieren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Hotweb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Vielen Dank schonmal, a) und b) hab ich jetzt denke ich verstanden. Bleibt nur noch das Problem bei c). Kann mir da jemand weiterhelfen?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-04


Hallo Hotweb,

die c) kannst du in Sachen Symmetrie genauso angehen wie a) und b). Allerdings: hier ist jetzt aus naheliegenden Gründen die Integrationsreihenfolge entscheidend. Überlege dir einfach mal, warum zuerst nach y integrieren hier nicht funktioniert. Dann hast du ja schonmal die richtige Reihenfolge. Und die dazu passenden Grenzen kannst du dann der Teilaufgabe b) entnehmen.

PS: es wäre schön und im Sinne dieses Forums, wenn du die Rechnung zu a) und b) noch hier vorstellen könntest.

In ca. 2/5 aller Fälle wird dies leider nicht mehr gemacht...


Gruß, Diophant



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Hotweb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Ich habe jetzt für a) es mit den Grenzen |x| und 0 gemacht. Und das Ergebnis dann verdoppelt.
Für Aufgabenteil b) bin ich noch dabei.

Sobald ich fertig bin werde ich ein Bild der kompletten Rechnung hochladen



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2342
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-04


Hallo,

ich muss meinen Tipp zur c) revidieren. Ganz so einfach scheint sie nicht zu sein.


Gruß, Diophant



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Hotweb
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Stimmen die von mir genannten Grenzen für a)?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2342
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-04


Hallo,

wenn du die Grenzen für das innere Integral meinst: ja, die passen.


Gruß, Diophant



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-06-04


Hallo,

hast du dir bereits eine Skizze gemacht? Wie sehen die Grenzen in $x$ fuer ein konkretes $y$ aus?

Frage dich fuer die b) umgekehrt, wie die Grenzen fuer $y$ fuer ein konkretes $x$ aussehen. Ich drehe mal das Koordinatensystem aus Beitrag 2

<math>\begin{tikzpicture}[rotate=270]
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,1.5) node[position = above] {$y$};
\draw[-latex] (1.5,0) -- (-1,0) node[position = above] {$x$};
\draw[fill = white!70!blue](0,0) -- (-1,1) -- (1,1) -- cycle;
\draw[red] (-0.5,0.5) -- (-0.5,1);
\end{tikzpicture}
</math>

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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Hotweb
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Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Und für das äußere hatte ich 0 bis 1.
Jetzt noch mal zu b) ich dachte es wäre hier |-y| bis 1 für das Innere, jedoch komme ich nun auf ein anderes Ergebnis als für a) und eigentlich müsste das ja identisch sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-06-04


Das ist auch nicht richtig. Du kannst nicht einfach $x$ durch $y$ ersetzen :(



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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Ich hab mir jetzt auch mal die gekippte Skizze gemacht. Aber da sieht es doch aus als wäre das obere Teildreieck auch nur von |y| als Obergrenze abhängig.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-06-04


Was sind die Grenzen für $x$, wenn $y=1/3$ ist? Versuche dir bitte ein Bild von dem zu machen, was in der Aufgabe gerade passiert. Hast du dir bereits eine Skizze gemacht?

Wenn du $y$ festlegst, so bewegt sich $x$ zwischen $-y$ und $y$. Warum?



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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Für fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-06-04


Super :) Wie sieht das Integral aus? Schreibe bitte auch den Rechenweg mit auf.



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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Ist das Innere Integral dann einfach von -x bis x?



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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Für (i) hab ich jetzt mit den äußeren Grenzen -1 bis 1 und den inneren -x bis x gerechnet.
Komme auf 2/5 als Ergebnis.
 



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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Für (ii) sieht es für mich so aus als wären die inneren Grenzen bei |y| bis 1



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-06-04

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

dein Resultat stimmt (vergleiche mit Beitrag #6 ... ).

Aber könntest du jetzt doch mal dazu übergehen, hier eine komplette Rechnung oder einen Ansatz in einem Formelsatz-System deiner Wahl zu posten?

Wir haben hier den Luxus, gleich zwei verschiedene Systeme zur Verfügung zu haben: den fedgeo-Formeleditor (leichter zu handhaben) und \(\LaTeX\) (anspruchsvoller, aber wesentlich leistungsfähiger).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04


Ich bin mir für (ii) aber immer noch nicht sicher, da ich dort mit meinen genannten Grenzen auf ein anderes Ergebnis komme



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-06-04


Dann schreibe doch mal deine Rechnung hier hin ;) Diese nicht zu kennen, ist für uns echt ein Problem, sorry.



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