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Strukturen und Algebra » Ringe » Faktorieller Ring, Teilerverband, Verbandshomomorphismus
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Universität/Hochschule Faktorieller Ring, Teilerverband, Verbandshomomorphismus
Kaazul
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-04


Hi,

Ich sitze an einer längeren Aufgabe in Algebra von der ich die ersten Teile gelöst habe, aber mir unklar bin ob mein Lösungsansatz für den Rest passt. Die Aufgabenstellung ist:

(3)Sei $R$ ein faktorieller Ring und $P$ die Menge aller Assoziiertenklassen $[p]_{\sim}$ von prim Elementen. Definiere die Zuordnung:
$\phi:[a]_{\sim}\mapsto (n_p)_{p\in P}$
$\forall a \in R\backslash \{0\}$
Ist $a\sim p_1^{e_1}...p_n^{e_n}$ mit paarweise verschiedenen $p_i$ so ist $n_p=e_i$ für ein $i=1,2,...,n$ andernfalls $n_p=0$
Für $a=0$ sei $\phi(a)=\phi(0)=(\infty)_{p\in P}$
So wird ein Verbandshomomorphismus (Einbettung) $\phi : R \rightarrow K^P$ des Teilerverbands in das direkte Produkt $|P|$ vieler Kopien der Kette $K:=(\mathbb{N}_{\infty},\leq)$. Also die totalgeordnete Menge der natürlichen Zahlen ergänzt um ein größtes Element $\infty$
(4) Der Teilerverband in einem faktoriellen Ring modulo Assoziertheit ist distributiv und vollständig

Also für Assoziertheit weiß ich: $a \sim b \Leftrightarrow a|b $ und $b|a$
Als erstes muss ich zeigen, dass die Zuordnung wohldefiniert ist. Das ist sie, da in jedem faktoriellen Ring jedes Element eine eindeutige Primzerlegung hat. Dadurch hat jeder Repräsentant einer Assoziertenklasse die gleiche Zerlegung, also auch die selben Werte unter $\phi$

Dann muss ich zeigen, dass es ein Homomorphismus ist. Da es sich um Verbände handelt muss es bezüglich sup und inf ein Homomorphismus sein. Also:
z.z.: $\phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge \phi (b)$ sowie $\phi (a \vee b)=\phi(a)\vee \phi (b)$
Mit der Definition der Assoziiertheit (und da gilt $[a]_{\sim}|[b]_{\sim} \Rightarrow a|b$) kann ich auch einfach $a \wedge b$ betrachten.
Sei $a|b$ Dann gilt offensichtlich dass b obere Schranke ist und sogar kleinste obere Schranke von a,b. Durch die eindeutige Primzerlegung folgt, dass $a \sim p_1^{e_1}...p_n^{e_n}$ sowie $b\sim p_1^{f_1}...p_m^{f_m}$. Wegen $a|b$ gilt $\forall i$: $e_i \leq f_i$ also $\phi [a]_{\sim} \leq \phi [b]_{\sim}$
Deswegen ist $\phi [b]_{\sim}$ obere Schranke. Aber es gilt sogar $\phi [a]_{\sim}\wedge \phi [b]_{\sim} =\phi[b]_{\sim}$.
Analog für das inf. Daraus folgt $\phi$ ist ein verbandshomomorphismus.

Zu (4): Ich habe in vorherigen Teilen der Aufgabe schon gezeigt, dass jede Kette ein distributiver Verband ist und dass diese spezielle Kette $K$ vollständig ist. Deswegen ist mein Argumentation, dass mithilfe der Einbettung $\phi$ aus Punkt (3) die Aussage von Punkt (4) gilt.

Stimmen diese Lösungsansätze? In Punkt (3) muss ich auf jeden fall genauer argumentieren wieso es wirklich dann das sup ist. Bin mir nur etwas unsicher ob das der richtige Weg ist.

Danke für die Hilfe!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-09


Vielleicht liest du das ja noch ;). In dem Beweis, dass sup und inf erhalten bleiben, hast du $a \mid b$ angenommen, was nicht zulässig ist. Du musst schon beliebige $a,b$ nehmen und dann beachten, dass die PFZ von $a \wedge b = \mathrm{ggT}(a,b)$ aus den PFZ von $a$ und $b$ entsteht, indem man die Minima der Exponenten jeweils nimmt. Und entsprechend entsteht die PFZ von $a \vee b = \mathrm{kgV}(a,b)$, indem man die Maxima nimmt. Und dann geht auch die Definition der Ordnung in $K$ ein.

Aus der Einbettung folgt die Distributivität tatsächlich, aber nicht direkt die Vollständigkeit: denn ein in $K^P$ gebildetes Supremum (oder Infimum) von Elementen im Bild von $\phi$ muss nicht a priori wieder im Bild von $\phi$ liegen, und das Urbild muss auch nicht a priori das Supremum (oder Infimum) in $R$ sein. Dass das tatsächlich so ist, muss man sich kurz überlegen.



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