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Funktionentheorie » Holomorphie » Pol-/Nullstellenmenge von meromorphen Funktionen
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Universität/Hochschule J Pol-/Nullstellenmenge von meromorphen Funktionen
erik92
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  Themenstart: 2019-06-04

Hallo, ich hab folgende Aufgabe auf meinem aktuellen Übungsblatt: Sei f!=0 meromorph auf \Omega mit Polstellenmenge P(f) und Nulstellenmenge N(f) = {z\el\ \Omega\\P(f) : f(z)=0 } Zeigen Sie: 1/f : \Omega\\N(f) -> \IC , z ->1/f(z) ist meromorph auf \Omega und es gilt P(1/f)=N(f), sowie N(1/f)=P(f). Meine Idee war nun die folgende: Ich benutze einen Satz von meinem letzten Übungsblatt: Sei f holomorph auf \Omega\\{z_0 } , dann gilt: f hat einen Pol in z_0 g.d.w. lim(z->z_0,abs(f(z)))=\inf D.h. für meine Aufgabe: 1) z.z. P(1/f)=N(f) Sei z_0 \el\ P(1/f) dann gilt nach dem obigen Satz lim(z->z_0,abs(1/f(z)))=\inf und damit lim(z->z_0,abs(f(z)))= 0 . Also P(f) \subsetequal\ N(f) Sei nun z_0 \el\ N(f), dann gilt lim(z->z_0,abs(f(z)))= 0 und damit lim(z->z_0,abs(1/f(z)))=\inf d.h. z_0 \el\ P(1/f). Dies heißt also insgesamt: N(f) \subsetequal\ P(1/f) \subsetequal\ N(f) und damit N(f)=P(1/f). 2) N(1/f)=P(f) komplett analog zu 1) Bleibt nur noch zu zeigen, dass 1/f meromorph auf \Omega ist. Aber das ist eigentlich auch offensichtlich, da die einzigen Sigularitäten die bei 1/f auf \Omega auftreten können entweder Nullstellen von f sind und damit nach obigem Pole von 1/f oder es sind bereits Singularitäten von f, dann sind dies aber Pole da f meromorph auf \Omega und nach obigem sind alle Pole von f Nullstellen von 1/f. D.h. alle Singularitäten die auftreten sind Pole und damit ist 1/f meromorph. Mein Problem ist jetzt, dass das irgendwie zu einfach aussieht und deshalb denke ich, dass ich hier irgendwo einen Fehler gemacht habe. Kann mir hier jemand weiterhelfen?


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\) Hallo erik92, manchmal ist die Mathematik eben gar nicht so schwierig. Ich sehe keine wirklichen Fehler. Man könnte lediglich noch als Argument reinpacken, dass wenn $f:U\backslash\{z_0\}\to\C$ mit offenem $U$ und $z_0\in U$, und der Grenzwert $\lim_{z\to z_0}f(z)$ existiert, dass dann $f$ in $z_0$ holomorph fortsetzbar ist (wurde wahrscheinlich schon irgendwann gezeigt). Sonst könnte es ja sein, dass $\frac{1}{f}$ in den Polstellen von $f$ zwar stetig, aber nicht holomorph ist. Viele Grüße, Vercassivelaunos \(\endgroup\)


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erik92
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-04

Ah vielen Dank :-)


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erik92 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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