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Strukturen und Algebra » Ringe » Einheiten, Norm und Nullteiler
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Universität/Hochschule J Einheiten, Norm und Nullteiler
LernenWollen
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 46
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-10


Hallo,

ich hatte vor Kurzem erst eine Frage zu Einheiten gestellt, aber eine allgemeine.
Nun habe ich bzgl. Einheiten und Nullteiler Teilaufgaben, mit denen ich Schwierigkeiten habe.
Es geht dabei um den Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.
Der ist wie folgt definiert:

$d \in \mathbb{Z}\backslash \{0, 1\}$ ist quadratfrei (es gibt kein $1 \neq n \in \mathbb{N}$ mit $n^2 | d$),
$\mathbb{Z}[\sqrt{d}] = \{a + b\sqrt{d} ~~~|~ a, b \in \mathbb{Z}\}$,
$(a_1 + b_1\sqrt{d}) + (a_2 + b_2\sqrt{d}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{d}$,
$(a_1 + b_1\sqrt{d}) (a_2 + b_2\sqrt{d}) = (a_1a_2 + b_1b_2d) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{d}$.

So, dann ist ein Nullteiler des Rings ein Element ungleich Null, das mit einem anderen Element ungleich Null multipliziert Null ergibt. Die Elemente liegen dabei im Ring.

Eine Einheit ist ein multiplikativ invertierbares Element im Ring.

Das Konjungierte von $\alpha = a + b\sqrt{d}$ ist $\overline{\alpha} = a - b\sqrt{d}$.

Die Norm auf $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ ist $N: \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \to \mathbb{Z}, \alpha \mapsto \alpha\overline{\alpha}$.

Jetzt zu meinen Problemen:
Ob das Element $w = 1 + \sqrt{2}$ in $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ Nullteiler  ist, finde ich nicht raus. Dafür müsste ich ein Element $x \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ finden. So, dass $wx = 0$.
Aber ich habe auch keine Idee, wie ich das herausfinde. Auch raten hat mir bisher nicht geholfen.
Da $N(1 + \sqrt{2}) = -1$, ist das schonmal eine Einheit. Schließt das vielleicht den Nullteiler aus? Ist das überhaupt eine relevante Information? Könnte es sein, dass ein Element immer entweder Einheit oder Nullteiler ist?


Vielen Dank für eure schnellen Antworten!
Beste Grüße
LernenWollen



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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-10


Hallo,

du suchst ein Element $a+b\sqrt{2}$ mit $(1a+2b)+(1b+1a)\sqrt{2}=1+0\sqrt{2}$. Hilft dir das? Du könntest ein lineares Gleichungssystem lösen :)



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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-10


Hey,

nützliche Dinge, die du dir Mal  überlegen kannst:
1) Die Abbildung $\alpha\mapsto \overline{\alpha}$ ist multiplikativ, d.h. es gilt $\overline{\alpha}\overline{\beta}=\overline{\alpha\beta}$.
2) Daraus erhält man, dass auch die Norm multiplikativ ist: $N(\alpha)\cdot N(\beta)=N(\alpha \beta)$.
3) Zeige, dass $x=0$ genau dann gilt, wenn $N(x)=0$ ist (hier wirst du vermutlich benutzen müssen, dass $d$ quadratfrei ist.)
4) Angenommen $xy=0$. Wende die Normabbildung auf beide Seiten an, verwende 2) und 3) und zeige, dass entweder $x=0$ oder $y=0$ ist (weil $\mathbb{Z}$ nullteilerfrei ist).

Die Feststellung, dass die Norm von $(1+\sqrt{2})$ von Nullverschieden ist, ist also hilfreich. Tatsächlich ist $1+\sqrt{2}$ eine Einheit (und damit insbesondere kein Nullteiler!).
Du schreibst, dass die Norm eine Einheit (in $\mathbb{Z}$) ist. Das ist auch richtig, aber daraus kannst du nicht (ohne Beweis) direkt folgern, dass auch $1+\sqrt{2}$ eine Einheit ist.

Beste Grüße
Creasy

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Smile (:



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LernenWollen
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Dabei seit: 06.06.2019
Mitteilungen: 46
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-10


2019-06-10 19:40 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hilft dir das?

Ich bin mir nicht sicher, denn das würde mir so weit ich das sehe nur helfen, wenn ich noch nicht weiß, ob $1+ \sqrt{2}$ eine Einheit ist.

2019-06-10 19:43 - Creasy in Beitrag No. 2 schreibt:
3) Zeige, dass $x=0$ genau dann gilt, wenn $N(x)=0$ ist (hier wirst du vermutlich benutzen müssen, dass $d$ quadratfrei ist.)
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Ich weiß nicht, warum ich die Quadratfreiheit brauche.
Hinrichtung: $N(x) = 0 \Rightarrow x\overline{x} = 0 \Rightarrow x$ oder $\overline{x}$ gleich null $\Rightarrow x = 0$.
Rückrichtung: $x = 0 \Rightarrow \overline{x} = 0 \Rightarrow x\overline{x} = 0 \Rightarrow N(x) = 0$.

2019-06-10 19:43 - Creasy in Beitrag No. 2 schreibt:
4) Angenommen $xy=0$. Wende die Normabbildung auf beide Seiten an, verwende 2) und 3) und zeige, dass entweder $x=0$ oder $y=0$ ist (weil $\mathbb{Z}$ nullteilerfrei ist).
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Entschuldigung, ich bin kein Mathematiker. Für mich folgt in diesem Fall aus $xy=0$ schon, dass entweder $x=0$ oder $y=0$ ist.

2019-06-10 19:43 - Creasy in Beitrag No. 2 schreibt:
Du schreibst, dass die Norm eine Einheit (in $\mathbb{Z}$) ist. Das ist auch richtig, aber daraus kannst du nicht (ohne Beweis) direkt folgern, dass auch $1+\sqrt{2}$ eine Einheit ist.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Auch hierfür Entschuldigung. Ich hätte anmerken müssen, dass das in der Vorlesung (und Skript) bereits benannt wurde. Der Beweis ist in der Hausaufgabe zu führen, jedoch glaube ich, dass ich den selbst schon geschafft habe.

Also schließt Einheit Nullteiler aus? Und wenn $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ nullteilerfrei ist, gibt es auch Einheiten, die weder Nullteiler noch Einheit sind? Also ist meine Vermutung (entweder Nullteiler oder Einheit) falsch?

Danke für die Antworten!




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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2845
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-12


2019-06-10 20:52 - LernenWollen in Beitrag No. 3 schreibt:
2019-06-10 19:40 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hilft dir das?

Ich bin mir nicht sicher, denn das würde mir so weit ich das sehe nur helfen, wenn ich noch nicht weiß, ob $1+ \sqrt{2}$ eine Einheit ist.
Also erstmal um die allergrößte Verwirrung zu beseitigen: Wenn $a$ eine Einheit und gleichzeitig ein Nullteiler ist, dann gibt es $b\neq 0$, so dass $ab = 0$. Multipliziere nun mit $a^{-1}$ und du erhältst $b=0$, Widerspruch.

Versuche nun herauszufinden, ob $1+\sqrt{2}$ ein Nullteiler ist.

Ich weiß nicht, warum ich die Quadratfreiheit brauche.
Hinrichtung: $N(x) = 0 \Rightarrow x\overline{x} = 0 \Rightarrow x$ oder $\overline{x}$ gleich null $\Rightarrow x = 0$.
Wenn hier die ganze Zeit von Nullteilern die Rede ist, musst auch mal berücksichtigen, dass diese existieren können. Was ist denn hier, wenn $x$ ein Nullteiler ist?


Entschuldigung, ich bin kein Mathematiker. Für mich folgt in diesem Fall aus $xy=0$ schon, dass entweder $x=0$ oder $y=0$ ist.
Siehe vorherige Bemerkung. Es wird hier benutzt, dass $\IZ$ ein nullteilerfreier Ring ist.


Also ist meine Vermutung (entweder Nullteiler oder Einheit) falsch?
Ja. Das kannst du schon an $\IZ$ überprüfen: Einheiten sind 1 und -1, (nichttriviale) Nullteiler gibt es nicht.


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⊗ ⊗ ⊗



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