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Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: Folge ist beschränkt, zeige, dass Operator stetig ist
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Universität/Hochschule J Funktionalanalysis: Folge ist beschränkt, zeige, dass Operator stetig ist
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-10


\(\newcommand{\N}{_{n \in \mathbb{N}_0}}\)

Hallo alle zusammen.
Ich habe folgende Aufgabe in einem Lehrbuch gefunden, zu der es leider keine Lösung gibt, und komme nicht mehr weiter:

,,Sei $(d_n)\N$ eine Folge komplexer Zahlen. Zeigen Sie, dass $S((x_n)\N) = ((d_n x_n)\N)$ einen stetigen Operator $S: \ell^2 \rightarrow \ell^2$ definiert, genau dann wenn die Folge $(d_n)\N$ beschränkt ist."

$>$ Dies habe ich, denke ich.

,,Zudem zeigen Sie: In diesem Fall ist $S$ kompakt genau dann, wenn $\lim_{n}d_n = 0$ gilt."

Im Hinweis der Aufgabe steht noch, dass man durch Operator von endlich-dimensionalem Rang approximieren kann/soll, um die Kompaktheit zu zeigen. Also meine Idee war hierzu, dass $S$ kompakt genau dann ist, wenn es eine (beliebige) Operatorfolge $S_k$ von endlichem Rang gibt, so dass $\lim\limits_{k}||S_k - S|| = 0.$ Dies bedeutet ja, dass $\forall \epsilon \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N}: ||S_k - S|| < \epsilon \forall k \geq N $.  
Dann habe ich noch die Operatornorm aufgeschrieben, aber da $S_k$ unbekannt ist, habe ich die Idee droppen lassen.

Dann hatte ich eine andere Idee für ,,$\Rightarrow$." Sei $S$ kompakt, ergo insbesondere stetig. Sei $(x_n)\N$ eine gegen $0$ konvergeten Folge (darf ich das machen???), dann gilt: $S(\lim x_n) = \lim S(x_n) = \lim (d_n x_n) \overset{!}{=} 0$

So, da $S$ stetig ist, ist $(d_n)\N$ beschränkt (1. Teil). Aber ich sehe noch nicht, warum $d_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$ gelten muss, immerhin könnte doch $x_n= 1/n$ und $d_n = 1$ sein, oder nicht?


Für ,,$\Leftrightarrow$" wäre meine Idee, explizit eine Folge $S_k$ zu erzeugen, so dass $\lim_{k} ||S_k - S|| = 0$, wobei $S_k$ endlich-dimensionales Bild habe.
Vielleicht habt ihr einen Hinweis für mich? Ich probiere das mal gleich.

Gruß,
Neymar



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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-10


Hi Neymar,

zu zeigen, dass <math>S</math> kompakt ist, falls <math>d_n</math> gegen 0 konvergiert ist einfacher. Die Idee, die <math>S_k</math> explizit anzugeben ist auch richtig. Man könnte zum Beispiel <math>S</math> mit einer Projektion auf einen endlich-dimensionalen Unterraum multiplizieren.

Die andere Richtung ist etwas komplizierter. Überlege dir, dass ein Operator S genau dann kompakt ist, wenn für jede schwach konvergente Folge <math>x_n\to x</math> gilt, dass <math>Sx_n\to Sx</math> in Norm. Also <math>S</math> schwach zu Norm stetig ist. Hierfür musst du benutzen, dass <math>\ell^2</math> ein Hilbertraum und somit reflexiv ist.
Sei dann <math>e_n</math> die Standardorthonormalbasis für <math>\ell^2</math>. Was weißt du über die Folge <math>(e_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>?



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hey A_Moran,

ich beziehe mich hier nur auf die Richtung $\Rightarrow$. Sei $S$ kompakt, i.e. $S$ ist stetig. Nun ist aus dem ersten Teil der Aufgabe bekannt, dass daraus die Beschränktheit der Folge $(d_n)_{n \mathbb{N}}$ folgt. Ergo besitzt $(d_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine schwach konvergente Teilfolge.

So viel dazu, was ich seit gestern habe. Anyway, ich setzt erst einmal als bekannt voraus, dass die (orthonormale) Schauderbasis von $\ell^2(\mathbb{C})$ eine schwach konvergente Folge ist.


Beste Grüße,
Neymar



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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-11


Hi Neymar,

das sieht doch schon gut aus. Der schwache Grenzwert der Orthonormalbasis ist 0. Was ist denn <math>S(e_n)</math>, falls <math>(e_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> die Orthonormalbasis ist? Dann musst du noch die schwach zu Normstetigkeit von kompakten Operatoren benutzen.
Es ist richtig, dass beschränkte Folgen in reflexiven Räumen eine schwach konvergente Teilfolge besitzen, das benötigst du aber nicht für die Folge <math>(d_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>. Du benötigst das aber, um zu zeigen, dass ein stetiger Operator genau dann kompakt ist, wenn er schwach zu Norm stetig ist.

Viele Grüße
A_Moran



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-12


Hallo A_Moran,

also $S(e_n) = \sum_{n = 0}^{\infty}d_n e_n$, hätte ich gesagt.

Ich dachte heute schon im Laufe des Nachmittags fast, dass ich es schon hätte, indem ich die Def. der schwachen Konvergenz benutze, aber für schwache Konvergenz benutzt man ja Operatoren aus dem $\mathbf{Dualraum}$ und dann musste ich wieder von vorne überlegen.

Dürfte ich dich sonst bitten, mir den Beweis zu zeigen? Ich melde mich dann natürlich bei Nachfragen.

Ich habe also bisher nur Folgendes:

Die Folge $(e_i)$ konvergiert schwach gegen $0$. Eine kompakte Abbildung $S: \ell^2 \rightarrow \ell^2$ bildet schwach konvergente Folgen auf konvergente Folgen ab. (Bedeutet dies also, dass $\sum_{n= 0}^{\infty}d_n e_n$ konvergiert, als Bild von $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ?)

Was mich außerdem noch sehr interessiert: Wie zeigen wir die schwache Konvergenz gegen $0$? Also laut Skript:

Ich habe das mal probiert, weiß aber nicht, warum aber $\psi_n^{i} = e_n^{i} := \langle e_i, \psi_n\rangle = \langle e_i, e_n \rangle = \delta_{in}$ im Limes $n \to \infty$ gegen $0$ gehen soll. Man hätte da ja, entschuldige die Schreibweise, $\delta_{i \infty}$ stehen. Aber theoretisch könnte ja auch $i$ ,,ziemlich" groß werden, oder nicht?  

ad Konvention aus Vorlesung: $(e_i)$ haben wir als Hilbertbasis bezeichnet, der komische Pfeil bedeutet schwache Konvergenz.


(Ich habe das, was du im letzten Beitrag geschrieben hast, was zu zeigen ist, leider nicht wirklich verstanden.)


Gruß,
Neymar



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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-13


Hi Neymar,
Also dann der Reihe nach. Mir ist aufgefallen, dass ich auch ein paar Ungenauigkeiten drin hatte, sorry dafür.
Ich hab das jetzt in drei Schritte aufgeteilt. Im ersten Schritt zeigen wir, dass <math>S</math> schwach zu Norm stetig ist, dies ist auch der komplizierteste Schritt.

Zunächst sei <math>S</math> ein kompakter Operator. Wir wollen nun zeigen, dass <math>S</math> schwach zu Norm stetig ist. Das heißt für eine schwach konvergente Folge <math>x_n \rightharpoondown x</math> gilt <math>Sx_n\to x</math> in Norm. (Hier ist die erste Ungenauigkeit. Ich bin mir aktuell nicht sicher ob das wirklich schwach zu Norm stetig ist, also ob das auch für schwach konvergente Netze gilt.)
Da <math>(x_n)_x</math> schwach konvergent ist, ist die Folge insbesondere beschränkt. Da <math>S</math> kompakt ist, ist <math>S</math> stetig und insbesondere schwach zu schwach stetig. Also konvergiert <math>Sx_n\rightharpoondown Sx</math>.
Angenommen <math>Sx_n</math> konvergiert nicht in Norm gegen <math>Sx</math>. Dann existiert ein <math>\varepsilon >0</math> und eine Teilfolge <math>Sx_{n_k}</math>, sodass <math>\|Sx_{n_k}-Sx\|\geq \varepsilon</math> für alle <math>k</math>.
Nun ist aber <math>x_{n_k}</math> beschränkt und da <math>S</math> kompakt ist, besitzt <math>Sx_{n_k}</math> eine Normkonvergente Teilfolge. Diese muss aber gegen <math>Sx</math> konvergieren und hier ergibt sich dann ein Widerspruch und es folgt, dass <math>Sx_n\to Sx</math> in Norm. (Die Umkehrung gilt auch, da <math>\ell^2</math> reflexiv ist, aber die benötigen wir hier nicht).


Im zweiten zeigen wir die schwache Konvergenz der Orthonormalbasis

Sei nun <math>(e_n)_n</math> eine Orthonormalbasis von <math>\ell^2</math>. Wir zeigen nun, dass <math>e_n\rightharpoondown 0</math>.Hier hattest du schon die richtige Idee, formal sieht das dann so aus:
Wir müssen zeigen, dass <math>\langle e_n,e_k\rangle\to \langle 0,e_k\rangle=0</math> für alle <math>k\in \mathbb{N}.</math> Sei dafür <math>k\in \mathbb{N}</math>. Sei N:=k+1. Dann gilt für alle <math>n>N</math>,insbesondere <math>n\neq k</math>:
<math>\displaystyle \langle e_n,e_k\rangle=\delta_{nk}=0.</math>
Womit wir die schwach Konvergenz von <math>(e_n)_n</math> gegen <math>0</math> gezeigt haben.

Im letzten Schritt setzen wir alles zusammen und zeigen, dass <math>(d_n)_n</math> eine Nullfolge ist

Sei nun <math>(e_n)_n</math> die Standard Orthonormalbasis von <math>\ell^2</math>, also <math>e_n(k)=\delta_{nk}.</math>
Dann gilt <math>Se_n</math>=d_n<math> (Hier war ich auch etwas ungenau, denn es gilt ja schon </math>e_n\in \ell^2<math>. Hier kommt es immer mal zu Verwirrungen, wenn man ber Folgen von Folgen spricht.)
Nun wissen wir, dass </math>e_n\rightharpoondown 0<math> und </math>S<math> ist schwach zu Normstetig. Also wissen gilt </math>d_n=Se_n\to S0=0<math>. Womit wir gezeight haben, dass </math>(d_n)_n$ eine Nullfolge ist.

Ich hoffe, dass nun alles etwas klarer ist, falls noch Fragen offen sind, melde dich gerne.

Viele Grüße
A_Moran



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13


Hallo A_Moran,

danke dir für deine Antwort. Ich habe in der Tat noch etwas nachzufragen.

(i) Im ersten Kasten sollte es in der 2. Zeile vermutlich $S x_n \rightarrow S x$ heißen. :-)

(ii)
Hier ist die erste Ungenauigkeit. Ich bin mir aktuell nicht sicher ob das wirklich schwach zu Norm stetig ist, also ob das auch für schwach konvergente Netze gilt. schreibt:

$>$ Wie meinst du das, ob das auch für schwach konvergente $\mathbf{Netze}$ gilt? Ich dachte, du hast das bewiesen?


(iii) Also falls das mit der schwach zur Norm stetig wirklich geht, dann ist das ein eleganter Weg.


(iv)

Beim Durchrechnen einer Aufgabe zwecks Prüfungsvorbereitung bin ich auf eine Lösung der Aufgabe gestoßen:




Ich gebe zu, dass ich die Argumentation nicht nachvollziehe. Nur weil zwei beliebige Glieder den Abstand $\sqrt{2}\epsilon$ haben, kann es dennoch eine konvergente Teilfolge geben, oder nicht? Was ist z.B. mit der Foge $(-1)^n$. Der Abstand zweier Folgenglieder ist immer $1$, dennoch gibt es eine konvergente Teilfolge.

Außerdem: Weißt du, warum $\left\lvert \left\lvert T_z x^{(n)} - T_z x^{(m)}  \right\rvert\right\rvert > \sqrt{\epsilon^2 + \epsilon^2}$ gilt? Ich wüsste nicht, wie ich $T_z x^{(n)}$ explizit aufschreiben könnte.
 
Nur um sicherzugehen: Was ist $x^{(n)}$? Ist das eine Folge von Folgen, i.e. $x^{(1)}$ ist eine Folge aus $\ell^2$, $x^{(2)}$ ist eine Folge aus $\ell^2$ etc. Und mit $x(n)$ wurde aber in der Aufgabenstellung ein bestimmmtes Glied in der Folge bezeichnet, oder? Ich finde es ein bisschen verwirrend. :-)
 


Ich hoffe, dich nicht zu stören.

Gruß,
Neymar



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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-13


Hi Neymar,

(i) hast du vollkommen Recht, werde ich bei Gelegenheit korrigieren.

(ii) und (iii) Wir haben nur bewiesen, dass schwach konvergente Folgen auf normkonvergente Folgen abgebildet werden. Wir wissen aber nicht, ob schwach konvergente Netze auf normkonvergente Netze abgebildet werden.
Wir haben nämlich explizit benutzt, dass schwach konvergente Folgen beschränkt sind, dies ist für Netze im allgemeinen nicht richtig (es gibt sogar normkonvergente netze, die nicht beschränkt sind). Aber da wir nur eine schwach konvergente Folge haben, klappt alles trotzdem wunderbar.

(iv) den Beweis gucke ich mir gerne morgen noch an, ist auf jeden fall ein kürzerer Weg, blder mich auch interessiert

Viele Grüße und noch einen schönen Abend

A_Moran



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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-14


Hi Neymar,

Ich habe mir den Beweis in (iv) nochmal angeguckt. Die sind leider etwas inkonsistent mit den Beschriftungen, also:

Wir haben ein festes <math>\varepsilon</math> und der Abstand zwischen zwei beliebigen(!), aber unterschiedlichen, Folgenglieder ist immer größer als <math>\sqrt{2}\varepsilon</math>, also immer größer als eine Konstante. Falls es eine konvergente Teilfolge gäbe, gäbe es ja unendlich viele Glieder, deren Abstand auch auf jeden Fall kleiner als <math>\sqrt{2}\varepsilon</math> wäre.
Bei deinem Beispiel, die Folge <math>(-1)^n</math> ist der Abstand zwischen allen ungeraden Gliedern immer <math>0</math>.

Weiter ist, wie du richtig vermutet hast, <math>x^{(n)}\in \ell^2</math> also haben wir hier eine Folge von Folgen. Dieses <math>x^{(n)}</math> ist gerade die Orthonormalbasis, die wir auch vorher benutzt haben, also <math>x^{(n)}(k)=\delta_{n,k}</math>.

Dann wenden wir <math>T_z</math> auf dieses <math>x^{(n)}</math> an. Das ist dann wie vorher:

<math>\displaystyle T_z(x^{(n)}=(z_nx^{(n)}(1),z_2x^{(n)}(2),z_3x^{(n)}(3),...)=(0,0,...,0,z_n,0,...)</math>

Nun können wir den Abstand ausrechnen zwischen <math>T_z(x^{(n)}</math> und <math>T_z(x^{(m)})</math> (Wir nehmen an ohne Einschränkung an, dass <math>n< m</math>):
<math>\displaystyle \|T_z(x^{(n)}-T_z(x^{(m)}\|_2=\|(0,0,...,0,z_n,0,...,0,z_m,0,...)\|_2=\sqrt{z_n^2+z_m^2}>\sqrt{2}\varepsilon </math>
Man benutzt hier halt explizit auch die 2-Norm.

Ich hoffe, ich konnte alle Fragen ausreichend klären, ansonsten melde dich gerne nochmal :)

Viele Grüße
A_Moran



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-18


Hallo A_Moran,

entschuldige meine verspätete Antwort. Ich hatte auf jeden Fall deine Hinweise für die Abgabe beachtet. :-)

(i) In der Übungsgruppe haben wir es folgendermaßen gemacht:

Sei $\lim\limits_{n \to \infty}d_n \ne 0 \Rightarrow \exists \epsilon > 0$, $\left| d_{n_k} \right| > \epsilon \ \forall k \in \mathbb{N}$.
Es gilt: \[x_k := e_{n_k} \rightharpoondown 0, S(x_k) = d_{n_k}e_{n_k}.\]
Dann haben wir gesagt, dass $d_{n_k}e_{n_k}$ nicht konvergiert. (Also die Idee, die ja hier benutzt wird, ist, dass ein kompakter Operator eine schwach konvergente Folge auf eine konvergente Folge abbildet. Ich sehe aber nicht, warum wir die ganze Zeit Teilfolgen betrachten (müssen), also z.B. $d_{n_k}$ statt $d_k$ oder $e_{n_k}$ statt $e_k$. Was meinst du, A_Moran?)



(ii) und (iii) Wir haben nur bewiesen, dass schwach konvergente Folgen auf normkonvergente Folgen abgebildet werden. Wir wissen aber nicht, ob schwach konvergente Netze auf normkonvergente Netze abgebildet werden.
$>$ Du redest die ganze Zeit über sogenannte ,,Netze". Was sind diese?
Ich habe noch nie davon gehört.


Sei gegrüßt,
Neymar




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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-18


Hi Neymar,

Zunächst zum letzten Punkt. Netze sind Verallgemeinerunge von Folgen. In zB metrischen Räumen kann man die topologie komplett mit Folgen beschreiben (eine menge A eines metrischen raumes ist genau dann abgeschlossen, wenn der grenzwert aller konvergenten folgen aus A ebenfalls wieder in A liegt).
In allgemeinen Topologischen Räumen, muss man dann auf Netze übergehen. Oft fumkgionieren beweise analog, aber manchmal muss man einige Dinge beachten, wie hier zB dass konvergente netze nicht unbedingt beschränkt sind. Aber da du die noch nicht gesehen hast, muss dich das hier nicht weiter stören.
Den Beweis guck ich mir gerne morgen nochmal an, bin grade nur am Handy und da wird latex leider nicht vernünftig dargestellt.

Viele Grüße
A_Moran



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A_Moran
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-06-19


Hi Neymar,
nun zum Rest:
2019-06-18 22:30 - Neymar in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo A_Moran,

entschuldige meine verspätete Antwort. Ich hatte auf jeden Fall deine Hinweise für die Abgabe beachtet. :-)

(i) In der Übungsgruppe haben wir es folgendermaßen gemacht:

Sei <math>\lim\limits_{n \to \infty}d_n \ne 0 \Rightarrow \exists \epsilon > 0</math>, <math>\left| d_{n_k} \right| > \epsilon \ \forall k \in \mathbb{N}</math>.
Es gilt: <math>\displaystyle x_k := e_{n_k} \rightharpoondown 0, S(x_k) = d_{n_k}e_{n_k}.</math>

Dann haben wir gesagt, dass <math>d_{n_k}e_{n_k}</math> nicht konvergiert. (Also die Idee, die ja hier benutzt wird, ist, dass ein kompakter Operator eine schwach konvergente Folge auf eine konvergente Folge abbildet. Ich sehe aber nicht, warum wir die ganze Zeit Teilfolgen betrachten (müssen), also z.B. <math>d_{n_k}</math> statt <math>d_k</math> oder <math>e_{n_k}</math> statt <math>e_k</math>. Was meinst du, A_Moran?)

Bei meinem Beweis hätte man auch auf Teilfolgen übergehen müssen, aber ich hatte geschrieben, dass wir ohne Einschränkung annehmen, dass <math>|d_n|>\varepsilon</math> für alle <math>n</math>, ansonsten hätte man auf eine Teilfolge übergehen müssen.
Ansonsten kann es ja zB Folgen geben, die nicht gegen 0 konvergieren, aber sodass eine Teilfolge gegen 0 konvergiert. Der Multiplikationsoperator zu dieser Folge wäre dann grade nicht kompakt.
Das ist dann auch der Grund, warum man bei den <math>e_n</math> auf Teilfolgen übergehen muss, ansonsten hätte man keine Kovergenz des Bildes.

Viele Grüße
A_Moran



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23


Ich danke dir! :-)

Gruß,
Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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