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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit Limesabbildung
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Universität/Hochschule J Stetigkeit Limesabbildung
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-10


Hallo zusammen,

folgende Aufgabe verwirrt mich etwas:

fed-Code einblenden

Geht das so? Oder habt ihr Vorschläge?
 
viele Grüße
WagW



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-12


hat niemand eine Ahnung? confused



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-12


Hallo,

ich verstehe den Text nicht so ganz. Sei $X$ die Menge der reellen konvergenten Folgen, so betrachten wir die Abbildung
\[f\colon X\to\mathbb{R}, (x_k)_{k\in \mathbb{N}}\mapsto \lim_{k\to\infty}x_k.\] Seien nun $x=(x_k)_{k\in \mathbb{N}},\,y=(y_k)_{k\in \mathbb{N}}$ in $X$, so gilt
\[|f(x)-f(y)|=\left|\lim_{k\to\infty}x_k-\lim_{k\to\infty}y_k\right|= \left|\lim_{k\to\infty}(x_k-y_k)\right|\] \[ = \lim_{k\to\infty}|x_k-y_k|\leq \sup_{k\in\mathbb{N}}|x_k-y_k|=\|x-y\|_X\]
Falls du weißt, dass $f$ linear ist, kannst du dir sogar eine zweite Folge $y$ sparen :)



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-12


Hi ochen,

ich hatte das jetzt versucht mit dem \(\epsilon-\delta\)-Kriterium zu lösen. Also, dass ich um einen beliebigen aber fixen Punkt a eine \(\delta\)-Umgebung angebe, so dass für alle Elemente x mit \(\Vert x-a\Vert_{\infty}<\delta\) gilt \(\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon\).

Damit hätte ich dann ja Stetigkeit bzw. punktweise Stetigkeit gezeigt. Was das ganze aber so verwirrend macht, ist die Tatsache, dass die Punkte wieder Folgen sind.

Wie würde man das denn korrekt mit dem \(\epsilon-\delta\)-Kriterium zeigen?

viele Grüße

WagW



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-12


Eigentlich hat Ochen bereits fast die komplette Rechnung gemacht. Du willst die Stetigkeit im Punkt $x$ zeigen. Wie kannst du nun $\delta$ wählen, sodass $|f(x)-f(y)|\leq \epsilon$ für $\|x-y\|\leq \delta$?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-12


Wobei Ochen hier bereits gezeigt hat, dass das ganze Lipschitz stetig ist mit Lipschitz Konstante $1$.



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-12


Ah ok, jetzt ist der Groschen gefallen. In meinem Eingangspost hatte ich das alles mit der Folgenstetigkeit durcheinander gebracht. Wenn ich jetzt \(\delta\) auf \(\epsilon\) setze, dann folgt daraus bzw. mit der Abschätzung von ochen das \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium.

Danke euch beiden und viele Grüße

WagW

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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