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Analysis » Topologie » Beweis Satz von Maximum und Minimum
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Universität/Hochschule J Beweis Satz von Maximum und Minimum
Thranduil94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-11


Hallo Matheplanet Community,

ich habe heute eine Frage zum Beweis des Weierstraßschen Hauptlehrsatz (manchmal Satz von Maximum und Minimum)

Zunächst möchte ich die Version zitieren die ich kenne, sie stammt abgeändert aus dem Lehrbuch von Hildebrandt:

fed-Code einblenden
Jetzt möchte ich den Beweis einmal skizzieren und kommentieren, ich würde mich freuen wenn meine Bemerkungen in den Klammern einmal auf Sinnhaftigkeit und Richtigkeit überprüft werden könnten und eventuell ein Tipp gegeben werden könnte wenn ich auf einem total falschen Fuß bin.
fed-Code einblenden

Meine Fragen sind:

1. Weshalb muss die Teilfolge unbedingt gegen meine Stelle konvergieren, welche als Funktionswert das Supremum von f stellt?
2. Habe ich es richtig erkannt, dass von manchen Autoren es nicht betont wird, dass die Folge zu Beginn des Beweise nicht zwangsweise konvergent ist, ansonsten müsste ja nicht betont werden, dass der Satz von Bolzano-Weierstraß benutzt wird?

Ich würde mich über Kommentar sehr freuen und hoffe das es nicht allzu verwirrend ist.

Mit freundlichen Grüßen
Thranduil94



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-11


Hey Thranduil94,

deine Bemerkungen in den Klammern sind alle in Ordnung.
Vielleicht solltest du noch genauer hinschreiben, dass du deine Folge \(x_j\) gerade so wählst, dass \(f(x_j) \to s\) gilt. So wie du es hingeschrieben hast, könnte man den Eindruck haben, die Konvergenz \(f(x_j) \to s\) würde irgendwoher folgen, dabei wählt man die Folge \(x_j\) ja gerade so. Das aber nur am Rande.

Zu 1. Zunächst einmal weiß man es nicht. Die Folge \(x_j\) ist ja erst einmal irgendeine Folge, sodass \(f(x_j) \to s\) gilt. Je nachdem, wie die Funktion \(f\) aussieht, können dies alle möglichen Folgen sein. Ist beispielsweise \(f\) konstant, dann kann die Folge \(x_j\) beliebig in \(K\) gewählt werden.
Man weiß aber nach Bolzano-Weierstraß, dass die Folge \(x_j\) eine konvergente Teilfolge besitzt und diese gegen einen Grenzwert in \(K\) konvergiert. Dass dieser Grenzwert gerade \(f\) maximiert, weiß man zu diesem Zeitpunkt noch nicht. Das wird erst klar, wenn man die Stetigkeit von \(f\) benutzt.
Übrigens: Es könnte natürlich auch mehrere Stellen geben, die \(f\) maximieren (beachte das obige Beispiel). Welche dieser Stellen man nun durch diesen Grenzwert gefunden hat, weiß man nicht. Es ist auch völlig egal.

Zu 2. Ich weiß nicht, warum man betonen sollte, dass eine gewisse Eigenschaft - die wünschenswert wäre - nicht erfüllt ist. Wäre sie zwangsweise erfüllt (und wäre die Eigenschaft nützlich), würde man sie ja eh erwähnen.

Hätte ich ein Buch zu Analysis geschrieben, würde ich es auch nicht betonen und ich vermute, kaum ein Autor würde hier die nicht zwangsweise Konvergenz der \(x_j\) betonen.

Das ist doch gerade das schöne an Folgen in kompakten Mengen. Oft braucht man gar nicht die Konvergenz der ganzen Folge, für eine Teilfolge bekommt man die Konvergenz ja sowieso



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Thranduil94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-12


Okay, danke für die Kommentare, die haben schonmal gut geholfen. Ich glaube ich habe jetzt verstanden warum der Beweis so funktioniert.

LG
Thranduil94



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