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DjDummbatz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-12


Hallo,


Analysis II. Thema: m-dimensionale Flächen im \(R^n\)

Folgende Funktionen sind gegeben:

\(f: \begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
x^3 - yx\\
y
\end{bmatrix}\)
\(g:\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} \mapsto
\begin{bmatrix}
x^2\\
y^2
\end{bmatrix}\)
dazu gesucht

\(U_n = \{(\xi, \eta) \in \mathbb{R}^2: \#f^{-1}((\xi, \eta)) = n \}\) für alle \( n \in \mathbb{N}_0\)

__________________________________________________________________________

Lösungsansatz:

Ich habe hier starke Probleme zu verstehen was die Menge \(U_n\) überhaupt sein soll. Ist das Menge, damit \(f\) und \(g\) bijektiv sind?


Für \(f\)  habe zunächst versucht zu beweisen, dass \(f\) injektiv ist.
\(a= x^3 - yx\)
\(b=y\)
\(\Leftrightarrow a = x^3 - bx\) ??????.

Dann habe ich versucht die Umkehrfunktion zu bilden, leider ähnlich erfolgslos

\(
f:\begin{bmatrix}
f_1\\
f_2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x^3 - yx\\
y
\end{bmatrix}\\
f^{-1}:\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{f_1}{f_2-x^2}\\
f_2
\end{bmatrix}
\)

??????



Für \(g\) meine ich vielleicht die Lösung gefunden zu haben. \(g\) ist ja nicht bijektiv. Für\(\mathbb{R}^2_+\) aber schon.

\(
g:\begin{bmatrix}
g_1\\
g_1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x^2\\
y^2
\end{bmatrix}\\
g^{-1}:\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\sqrt{g_1}\\
\sqrt{g_2}
\end{bmatrix}
\)
Deswegen ist \(U_n=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2_+\}\).


Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen =))




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schoeni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-12


Ich würde mal behaupten mit \(f^{-1}\) ist nicht die Umkehrfunktion sondern das Urbild gemeint.



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DjDummbatz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13


Hallo schoeni, danke für deine Antwort. Das war schon mal ein guter Tipp.

Also soll das Urbild der Funktion immer \((n,n)\) sein für alle \(n \in \mathbb{N}_0\). Das wäre für \(g\): \(U_n = \{ (\psi,\eta) = (n^2, n^2) \in \mathbb{N}_0 \}\)????

Habe ich damit die Menge \(U_n = \{(\xi, \eta) \in \mathbb{R}^2: \#f^{-1}((\xi, \eta)) = n \}\) richtig verstanden?

Über weitere Kommentare würde ich mich sehr freuen =)



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