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Mathematik » Geometrie » Gerade schneidet Hyperebene
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Universität/Hochschule Gerade schneidet Hyperebene
Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 211
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-13


Sei H eine Hyperebene in An, p ∈An \H und q das Bild von p unter der Reflektion an H. Wir sollen zeigen
i)  dass die Gerade Lp,q  die Hyperebene H in genau einem Punkt r schneidet
ii) dass r unter allen Punkten in H den minimalen Abstand zu p hat d.h. d(p,t)≤ d(p,r) für t ∈ H, dann auch t = r.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Zu ii) habe ich eine Idee
d(p,t) = d(T(p),T(t)) ≤ d(T(p),T(r)) + d(T(r),T(t)) =  d(p,r) + d(r,t)
Also ist doch z.z d(r,t) = 0, d.h. r = t

d(r,t) = d(T(r),T(t)) = | T(r) - T(t) | = | r-t |  =  0 ⇒ Nach den Eigenschaften der Betragsfunktion ist dies äquivalent mit r = t

Stimmt das so? Und wie zeige ich  i)?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1804
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-13

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

vorneweg: ich verstehe deine Notationen nicht wirklich. Was ist bei dir T?

Soll das ohne Zuhilfenahme von Vektorrechnung gezeigt werden (da hätte man dann so schöne Sachen wie die HNF im Köcher), dann hätte ich folgende Grundidee:

Verschiebe die Hyperebene in \(A^n\) so, dass sie zum Unterraum wird. Oder professioneller ausgedrückt: fasse \(H\) als affinen Unterraum von \(A^n\) auf und betrachte den zugehörigen Unterraum, also etwa \(H-a\).
Betrachte dann o.B.d.A. für diesen Unterraum solche Punkte \(p,q\), so dass \(r=0\) der Fußpunkt der Geraden \(L\) ist. Damit sollte sich sowohl i) als auch ii) leicht begründen lassen (offensichtlich gilt ja beides).

EDIT: fast. Die Ungleichheit

2019-06-13 13:55 - Bibi90 im Themenstart schreibt:
d(p,t)≤ d(p,r) für t ∈ H, dann auch t = r.

ist falsch herum gesetzt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 211
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13


Leider kann ich mit deiner Antwort nicht viel anfangen weil ich nicht weiß, wie für den Unterraum Punkte p,q auffassen soll, so dass r=0 der Fußpunkt der Geraden L ist.


Zu T kann ich dir folgendes sagen. T ist eine Bewegung oder auch Isometrie und dann gilt d(T(p),T(q))=d(p,q).

Und die Ungleichheit d(p,t)≤ d(p,r) ist in der Aufgabenstellung genauso angegeben. Wieso kann das nicht stimmen?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1804
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-13

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

also das mit der Ungleichheit habe ich jetzt verstanden. Man soll diese annehmen und daraus Gleichheit folgern.




Mache dir das ganze vielleicht mal zunächst im \(\IR^3\) klar.

Und dann überlegst du dir ersteinmal eine sinnvolle und vor allem konkrete Bewegung T (also: was soll die wohin verschieben?).

Dann: für ii) hast du überhaupt nicht ausgenutzt, dass r der Mittelpunkt zwischen p und q ist, sondern du hast da im Prinzip für beliebige Punkte p,r t die Dreiecksungleichung durchexerziert. Das kann ja so nicht zu irgendeinem Ziel führen, denn die o.g. Eigenschft des Punktes r wird dabei nicht verwendet.

Also: mit welcher Bewegung T arbeiten wir?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Dabei seit: 17.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13


Ich versuch mal aufzuschreiben was ich bereits weiß

Zu einer Geradenspiegelung weiß ich:
Ist σg eine Geradenspiegelung und α eine beliebige Kongruenztransformation, so ist ασgα−1 die Geradenspiegelung an der Geraden α(g).
Beweis: Ist X ∈ α(g), so existiert ein Y ∈ g mit X = α(Y), und es folgt ασgα−1(X) = ασg(Y) = α(Y) = X, d.h. α(g) ist Fixpunktgerade, ασgα−1 ist axiale Affinität. Da in der Gruppe B jede von der identischen Abbildung verschiedene axiale Affinität eine Geradenspiegelung ist, folgt die Behauptung.
Insbesondere gilt, falls α eine Geradenspiegelung σh ist: σσh(g) = σhσgσh, also ist σh(g) = k gleichbedeutend mit σhσgσh = σk
bzw. mit σhσg = σkσh, es besteht die Äquivalenz σa(b) = c ⇐⇒ σaσb = σcσa für beliebige Geraden a,b,c

Gilt g ⊥ h, so ist g∩h ein Punkt.
g ⊥ h und g 6= h hat zur Folge, daß h in der Affinitätsrichtung von σg liegt. Da σg involutorisch ist, kann es keine Scherung sein, die Affinitätsrichtung ist von der Achsenrichtung verschieden, h und g sind nicht parallel

Hilft mir das weiter?



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13


Ach ja und
ich weiß, dass eine Gerade, die nicht parallel zu einer Hyperebene ist, diese in genau einem Punkt schneidet.
Beweis: Wähle Gerade L  und Hyperebene H, die nicht parallel sind.
Nun schneidet L die uneigentliche Hyperebene Hunendl. in einem Punkt, der nicht in H∩Hunendl. liegt.
L und H müssen sich in einem Punkt P schneiden. Da sie sich nicht in Hunendl. treffen, muss P in A sein



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-14


Stimmt meine Antwort nicht?



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-14


Hallo Bibi90,

2019-06-14 10:05 - Bibi90 in Beitrag No. 6 schreibt:
Stimmt meine Antwort nicht?

Sorry, aber das ist alles völlig unverständlich notiert und der Sinn deiner Argumentationen erschließt sich zumindest mir nicht. Anderen Mitgliedern hier offensichtlich auch nicht...

Darüberhinaus verstehe ich nicht, wieso du in Beitrag #4 mit Geradenspiegelungen anfängst.

Wenn wir das hier konstruktiv weiterführen sollen würde ich vorschlagen, dass du

- auf gegebene Antworten eingehst
- eigene Asätze verständlich präsentierst, insbesondere durch eine verständliche und ausführliche Erläuterung
- LaTeX oder den fedgeo-Formeleditor verwendest.

Ansonsten sehe ich nicht, wie wir auf die bisherige Art und Weise eine solche Aufgabe gemeinsam besprechen können (und es sollte dir klar sein, dass in diesem Forum i.a. keine fertigen Lösungen gegeben werden).

Was auch noch gut zu wissen wäre: in welchem Zusammenhang steht diese Aufgabe?


Gruß, Diophant



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-14


Ich würde ja sehr gerne auf deine Antwort eingehen, allerdings verstehe ich leider immer noch nicht wie ich überhaupt anfangen muss.
Ich kann mit deinen Antworten leider überhaupt nichts anfangen. Ich will jetzt wirklich keine fertige  Lösung sehen, aber kannst du mir vielleicht nur mal den Anfang zeigen?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-14


Im ersten Schritt wäre es sinnvoll die Aufgabe einfach für den Fall $\mathbb{A}_n = \IR^2$ aufzuzeichnen. An dem Bild sollte in etwa klar werden, was analog in höheren Dimensionen passiert.



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