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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Kommutator mit Drehimpulsoperator, Levi-Civita-Symbol
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Autor
Universität/Hochschule J Kommutator mit Drehimpulsoperator, Levi-Civita-Symbol
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-16


Hallo alle zusammen,

ich möchte zeigen, dass jede Komponente des Bahndrehimpulsoperators mit $P^2 := P_X^2 + P_Y^2 + P_Z^2$ kommutiert.

Also dann: \[ [L_i,  P^2] = [\epsilon_{ijk} X_j P_k, P_X^2 + P_Y^2 + P_Z^2] = [\epsilon_{ijk} X_j P_k, P_X^2] + [\epsilon_{ijk} X_j P_k, P_Y^2] + [\epsilon_{ijk} X_j P_k, P_Z^2] = \epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_X^2] + \epsilon_{ijk}[ X_j P_k, P_Y^2] + \epsilon_{ijk}[X_j P_k, P_Z^2]\]
Vermutlich ist es am besten, wenn ich mir einen Kommutator aussuche, zum Beispiel $\epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_X^2]$, und das Verfahren daran durchgehe.

Es gilt: \[ \epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_X^2] = \epsilon_{ijk} X_j\underbrace{[P_k, P_X^2]}_{\text{1}} + \epsilon_{ijk} \underbrace{[X_j, P_X^2]}_{\text{2}}P_k\]
ad 1. Kann man nicht sagen, dass der Kommutator immer $0$ ist, da wir (unter bestimmten mathematischen Bedingungen) davon ausgehen, dass jede wie die partiellen Ableitungen vertauschen können?  

ad 2. Da kann man ja sagen, dass dieser Kommutator genau dann $\ne 0$, wenn $X_j = X$, i.e. $j = 1$.  

Weiter: \[ \epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_X^2] = \epsilon_{ijk} X_j\underbrace{[P_k, P_X^2]}_{\text{1}} + \epsilon_{ijk} \underbrace{[X_j, P_X^2]}_{\text{2}}P_k = \epsilon_{\text{1ki}} \cdot 2i\hbar P_X P_k,\] da \[[X, P_X^2] = P_X[X, P_X] + [X, P_X]P_X \]
Weil ich den einen Kommutator habe, habe ich keine Lust, die beiden anderen auch zu berechnen, sondern deduziere einfach:

\[ \epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_Y^2] =\epsilon_{\text{2ki}} \cdot 2i\hbar P_Y P_k  \quad \text{bzw.} \quad  \epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_Y^2] =\epsilon_{\text{3ki}} \cdot 2i\hbar P_Z P_k \]
Die letzten zwei Gleichungen sollten stimmen, oder?
Wie würdet ihr nun weitermachen?

($j = 1: \qquad \epsilon_{\text{i1k}} = \epsilon_{\text{1ki}}$

Außerdem muss man die Gleichung ein bisschen vorsichtig lesen, da das $i$ im Levi-Civita-Symbol ein anderes $i$ als die imaginäre Einheit ist, aber ich möchte jetzt nich meine Indizes umbenennen.)

Gruß,
Neymar



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-16


Hallo,
wenn du schon Summenkonvention nutzt, warum dann nicht konsequent?

$$[L_i,P^2]=\left[\epsilon_{ijk} X_j P_k\,,\,P_l P_l\right]=...$$

Dann Vereinfachung mit Produktregel und der Relation $[X_l,P_k]=i\hbar \delta_{lk}$.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-17


Hallo wessi90,

okay, ich habe es versucht, aber es klappt leider noch nicht.

\[ [L_i, P^2] = \epsilon_{ijk} [X_j P_k, P_l P_l] = \underbrace{\epsilon_{ijk} X_j [P_k, P_lP_l]}_{= 0} + \epsilon_{ijk}[X_j, P_l P_l] P_k = \epsilon_{ijk} [X_j, P_l]P_l P_k + \epsilon_{ijk} P_l [X_j, P_l]P_k\] \[ = \epsilon_{ijk} \cdot i\hbar\delta_{jl} P_l P_k + \epsilon_{ijk} P_l \cdot i\hbar \delta_{j,l}P_k = 2\epsilon_{ijk} \cdot i\hbar \delta_{jl}P_l P_k = 2i\hbar\epsilon_{ilk} P_l P_k \]
Ich hoffe, mich nicht vertippt zu haben ...
Ich sehe aber nicht, warum der letzte Term $0$ sein sollte.


Gruß,
Neymar



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-17


Naja, du hast eine Summe der Form $A_{lk}S_{lk}$, wobei $A_{lk}=-A_{kl}$ antisymmetrisch ist unter Vertauschung der Indizes und $S_{lk}$ symmetrisch.

In so einem Fall kann man allgemein zeigen, dass die Summe verschwindet. Nutze dafür:
$$A_{lk}S_{lk}=-A_{kl} S_{kl}=-A_{lk} S_{lk}$$
Also insgesamt $2 A_{lk}S_{lk}=0$. Dabei habe ich im ersten Schritt die (Anti-)Symmetrie benutzt und danach die Summationsindizes umbenannt, was ich natürlich jederzeit tun darf.




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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-17


Kann sein. Ich habe meine letzte Gleichung einfach explizit ausgeschrieben, i.e. mit zwei Doppelsummen, und dann ergibt es sich, dass der letzte Term $0$ ist.

Danke dir.

Gruß,
Neymar



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-18


Das kann nicht nur sein, das ist etwas, das man sich einfach merken kann und häufiger mal nützlich ist. Natürlich kann man das auch komplett ausschreiben, bei so wenigen Summanden ist das ok, bei deutlich mehr wird das dann aber schnell unpraktikabel.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-18


Ich habe halt deine Antwort nicht verstanden. Was sollen die $A_{lk}S_{lk}$ sein? Wo habe ich denn eine Summe dieser Form stehen?



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-24


Naja, $i$ ist ein fixierter Index. Ich setze also
$A_{lk}=\epsilon_{ilk}$ (A für antisymmetrisch) und $S_{lk}=P_l P_k$ (S für symmetrisch). Nun gilt bekanntlich $\epsilon_{ilk}=-\epsilon_{ikl}$ und die Impulsoperatoren kommutieren, also $P_l P_k=P_k P_l$ und schon haben wir für jedes $i\in\{1,2,3\}$ einen Ausdruck von besagter Form (der konstante Vorfaktor spielt ja keine Rolle).



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-24


Ich danke dir, dass du dich noch zurückgemeldet hast! Ja, ich denke, es ist klar.







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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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