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Mathematik » Numerik & Optimierung » Kleine Abschätzung für Interpolationsfehler (Lineare Splines)
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Autor
Universität/Hochschule J Kleine Abschätzung für Interpolationsfehler (Lineare Splines)
kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 490
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-17


Liebe Mitglieder,

Wikiversity hat einen wirklich schönen Beitrag zu Splines. Leider verstehe ich an dieser einen Stelle eine kleine letzte Abschätzung nicht:



Ich verstehe die letzte Abschätzung von  \(\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{2} \) zu \(\frac{h_{max}^2}{8} \) leider nicht, auch nicht mit dem schönen Hinweis und wäre euch dankbar für eure Hilfe.

Liebe Grüße
KingDingeling



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Monom
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.05.2015
Mitteilungen: 92
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-17


Hallo KingDingeling,

laut Hinweis wird die Funktion $f\colon \left[x_k,x_{k+1}\right]\to\mathbb{R}$ mit
$$f(x) = \lvert \left(x-x_k\right) \left(x-x_{k+1}\right)\rvert$$
an der Stelle $x^* = \left( x_k + x_{k+1} \right) / 2$ maximal.

Wenn ich $x^*$ in $f$ einsetze, erhalte ich
$$f\left( x^* \right) = f\left(\frac{x_k + x_{k+1}}{2} \right) = \frac{1}{4}\left( x_{k+1}-x_k \right)^2.$$
Damit können wir also abschätzen:
$$\left\lvert \frac{\left(x-x_k\right) \left(x-x_{k+1}\right)}{2} \right\rvert = \frac{1}{2}f(x) \leq \frac{1}{2} f\left(x^*\right) = \frac{1}{2}\, \frac{1}{4}\left( x_{k+1}-x_k \right)^2 \leq \frac{1}{8}h_{\mathrm{max}}^2.$$

Viele Grüße
Monom



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