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Mathematik » Stochastik und Statistik » Dichte von Produkt von gegebenen Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Dichte von Produkt von gegebenen Zufallsvariablen
Omikron
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Hallo,

Es sei X standardnormalverteilt und $Z$ mit $P(Z=1) = P(Z=-1) = \frac12$ zwei unabhängige Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass $Y := ZX$ ebenfalls standardnormalverteilt ist.

Auch wenn die Aufgabe vermutlich ziemlich einfach ist, beiß ich mir gerade die Zähne aus. Mein Ansatz:

\[\begin{array}{lll}
P(Y \le c) &=& P(XZ \le c) \\
&=& P(Z=1,X \le c) + P(Z=-1,X \ge c) \\
&=& P(Z=1)P(X\le c) + P(Z=-1)P(X\ge c) \\
&=& \frac12\Big( P(X\le c) + P(X\le c)\Big) \\
&=& \frac12\Big(P(X\le c) + 1 - P(X\le c)\Big) \\
&=& \frac 12,
\end{array}\]
was nicht ganz das gewünschte Ergebnis ist. An welcher Stelle ist das Gleichheitszeichen falsch? Vielen Dank.



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-18


Huhu Omikron und herzlich willkommen auf dem Matheplanet!

Du hast bei deiner Rechnung im zweiten Schritt ein Minuszeichen vergessen:

$P(XZ \leq c) = P(Z=1, X\leq c) + P(Z=-1, -X\leq c)\\
\qquad \qquad\;\;\;\, = P(Z=1, X \leq c) + P(Z=-1, X \geq -c)$

Liebe Grüße,
Conny



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Omikron
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-18


Das hat geholfen. Vielen Dank und eine gute Nacht wink



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Omikron hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Omikron hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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