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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » Perfekte Zahl = 1+2+...+k Beweis?
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Universität/Hochschule J Perfekte Zahl = 1+2+...+k Beweis?
mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Hi,
ich habe soeben mitbekommen, dass sich alle geraden vollkommenen Zahlen als 1+2+3+...+k mit k Element IN schreiben lassen und bin sehr "geflasht" von dieser Erkenntnis.
 
Hat jemand eine Idee, wie man dies beweisen kann oder ist dieser Beweis zu schwer?


LG
M. Hipp :-)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-18


Hallo mhipp,

leider kann man deinem Themenstart dein Anliegen nicht wirklich entnehmen.

Sorry, ich hatte dich zunächst missverstanden. Jedenfalls geht es dir um Vollkommene Zahlen.

Auf der verlinkten Wikipediaseite sind die wichtigsten Fakten dazu zusammengefasst.

Der folgende Beitrag von Nuramon geht dann noch präziser auf deine Frage ein.


Gruß, Diophant



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

Zahlen der Form $1+2+\ldots+k= \frac{k(k+1)}2$ nennt man Dreieckszahlen.

Man kann die geraden vollkommenen Zahlen wie folgt charakterisieren:
Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn es eine Mersenne-Primzahl $p=2^m-1$ gibt, mit $n= 2^{m-1}p$.

Daraus folgt insbesondere, dass gerade vollkommene Zahlen Dreieckszahlen sind.

Obige Charakterisierung ist nicht all zu schwer zu zeigen, wenn man ein paar Eigenschaften der Teilersummenfunktion $\sigma$ kennt.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-18


Also diesen Beweis (der Charakterisierung) kriege ich nicht hin.

Erstmal ist z.z.:
n = p × 2^(m-1) ist perfekt.
n ist perfekt, wenn σ(n) = 2n.

Die Teilermenge dieser Zahl ist {1;2;4;...;2^(m-1);p;2p;4p;...;(2^(m-1))p}.

Dementsprechend ist σ(n) = 2^m - 1 + p(2^m - 1).
Dies ist aber nicht gleich 2n oder?
Warum also sollte n perfekt sein?


Und wie ist dann die umgekehrte Schlussfolgerung zu beweisen? Also, dass eine perfekte Zahl stets die Form von n hat?

Und warum ist p × 2^(m-1) eine Dreieckszahl?

Lg



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-18

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Hi.
Ergänzung zu Nuramons Antwort
Den Beweis dieses klassischen Satzes, den man auf der Englischen Wikipedia unter "Euclid-Euler Theorem" findet habe ich schonmal ausgearbeitet. Die Wikipedia Version (daher habe ich den Beweis) ist fast identisch.
Wie du siehst ist er elementar und benutzt nur einfache Eigenschaften der Teilerfunktion.

Theorem
Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn sie von der Form
$n=2^{m-1}(2^m-1)$ mit $2^m-1$ prim ist.

$\underline{\color{orange}{\mathscr{B}\!eweis}\colon}$
$\Leftarrow$(Euclid, Letztes Resultat in "die Elemente")
Sei $n=2^{m-1}(2^m-1)$ und angenommen $2^m-1$ ist prim.
Da $2^m-1$ prim ist sind $2^{m-1}$ und $2^m-1$ teilerfremd. Daher folgt aus der Multiplikativität von $\s$
$\s(n)=\s(2^{m-1})\s(2^m-1)$.
Die Summe der Teiler von $2^{m-1}$ ist gleich $2^m-1$.
Die Summe der Teiler von $2^m-1$ ist $2^m-1+1=2^m$ da $2^m-1$ als Primzahl nur durch sich selbst und $1$ teilbar ist.
Zusammen ergibt sich:
$\s(n)=(2^m-1)2^m=2n$.
Man beachte, dass eine Zahl $n$ genau dann vollkommen ist wenn $\s(n)=2n$ gilt. Also sind wir mit dieser Richtung fertig.
$\implies$(Euler)
Sei $n$ eine gerade perfekte Zahl.
Dann ist $n$ von der Form $n=2^k\cdot x$ mit $k\geq 1$ und einer ungeraden Zahl $x$ und es gilt $\s(n)=2n=2^{k+1}x$.
Andererseits gilt $\s(n)=\s(2^k)\s(x)=(2^{k+1}-1)\s(x)$.
Wegen $k\geq 1$ ist $2^{k+1}-1\geq 3$. Außerdem ist $2^{k+1}-1$ ungerade. Also muss $2^{k+1}-1$ den Faktor $x$ teilen.
Nehmen wir zuerst $x\not = 2^{k+1}-1$ an
Sei $x=y(2^{k+1}-1)$. Es ist wegen unserer Annahme $y$ ein echter Teiler von $x$.
Es folgt $2^{k+1}y=\s(x)=x+y+$ "andere Teiler von $x$".
Beachte aber $x+y=y(2^{k+1}-1)+y=2^{k+1}y$.
Also ist "andere Teiler von $x$"=0. Beachte, dass $1$ immer ein Teiler ist. Also muss $y=1$ gelten, und $x$ eine Primzahl sein. Desweiteren sieht man, dass $x$ die Form $2^{k+1}-1$ haben muss.

Nun nehmen wir an es gilt $x=2^{k+1}-1$. Wir müssen nur zeigen, dass $x$ eine Primzahl ist. Durch kürzen von $x$ in der Gleichung erhalten wir $2^{k+1}=\s(x)$. Beachte, dass aus $x=2^{k+1}-1$ folgt, dass $\s(x)\geq 2^{k+1}=2^{k+1}-1+1=x+1$ mit Gleichheit genau dann wenn $x$ eine Primzahl ist.
Wir sind fertig.

$\underline{\color{orange}{\mathscr{Q}}.\color{orange}{\mathscr{E}}.\color{orange}{\mathscr{D}}.}^{\color{silver}{*}}$

Das ist genau das Resultat das Nuramon erwähnt hat.
Dass du selbst nicht darauf kommst ist jetzt nicht tragisch. Obgleich elementar ist der Beweis ja auch kein Einzeiler.

Versuche den Beweis einmal zu verstehen.
Viele Grüße

$ \color{silver}{*\text{ Hier ist eine Stilblüte versteckt. Auf das implizite Anliegen eines Mitglieds habe ich die Buchstaben noch vergoldet. Der Beweis ist aus einem Buch gefallen. }}$$\color{silver}{\text{ Stilblüten,Beitrag No.}1327}$


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-18

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2019-06-18 18:55 - mhipp in Beitrag No. 3 schreibt:

Und warum ist p × 2^(m-1) eine Dreieckszahl?

$2^{m-1}(2^m-1)=\frac{2^m(2^m-1)}{2}=1+2+\cdots+(2^m-1)$.
\(\endgroup\)


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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Hallo,
Danke für deine Bemühungen!
Ich muss zugeben, dass ich Eulers Teil des Beweises nicht vollkommen verstehe.
(Sei "Sei n eine gerade perfekte zahl" Zeile 1)
Schleierhaft sind mir die Zeilen 4, 7 und der ganze Schritt ab Zeile 11.

Falls du Zeit finden solltest, wäre es nett, wenn du es mir nochmal erklären könntest :-)

Des Weiteren verstehe ich, wie gesagt, den Beweisteil von Euklid, aber ich verstehe nicht, was an meinem falsch ist.
Er hat verständlich argumentiert, dass sigma(n) = 2n, aber warum funktioniert es mit meiner oben gezeigten "Teileraufzählmethode" nicht?

Auch verstehe ich nicht, warum für teilerfremde Zahlen a,b sigma(ab) = sigma(a)sigma(b) gilt...


Liebe Grüße
M. Hipp



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philippw
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-19


Hi mhipp,

Doch, es geht auch mit deiner direkten Methode. Du warst schon fast fertig, du musst einfach noch ein bisschen vereinfachen (zu (p+1) * (2^m - 1)), und die Definition von p einsetzen. Dann kommt genau 2n raus.

Gruß,
Philipp


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"Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können."
Karl Marx



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xiao_shi_tou_
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Hi. Der springende Punkt ist ja Eulers Richtung. Dass eine Zahl der angegebenen Form vollkommen ist ist mehr oder weniger trivial.

Mit "perfekt" meine ich "vollkommen". Das sind zwei verschiedene gängige Namen für die selbe Sache.

Es soll gezeigt werden, dass jede gerade vollkommene Zahl $n$ die Form $n=2^{m-1}(2^m-1)$ hat.
"Sei $n$ eine gerade perfekte Zahl." bedeutet einfach, dass man sich jetzt eine beliebige gerade perfekte Zahl hernimmt und im folgenden beweist, dass sie die obige Form hat. Dass man $n=2^kx$ schreiben kann mit $k\geq 1$ und $\gcd(x,2)=1$ gilt für jede gerade Zahl.

Zeile $4$:
Es gilt $\gcd(2^{k+1},2^{k+1}-1)=1$ und $2^{k+1}-1\mid 2^{k+1}x$.
Hierraus folgt $2^{k+1}-1\mid x$.

Zeile $7$:
Wir haben $2^{k+1}x=\sigma(n)=(2^{k+1}-1)\sigma(x)$ und $x=y(2^{k+1}-1)$.
Teilt man beide Seiten durch $2^{k+1}-1$ folgt
$2^{k+1}y=\sigma(x)$.


Desweiteren wissen wir, dass $y$ ein Teiler von $x$ ist der von $x$ verschieden ist. Entweder es ist $y=1$ und $\sigma(x)=x+1$. Dann ist $x$ eine Primzahl. Oder es gilt $\sigma(x)=x+y+"weitere Teiler"$.

zu Zeile $11$
Wenn $x=2^{k+1}-1$ dann gilt $n=2^k(2^{k+1}-1)=2^{m-1}(2^m-1)$. mit $m=k+1$. $n$ hat also die gewuenschte FOrm. Deshalb muss nur noch gezeigt werden, dass $x=2^{k+1}-1$ eine Primzahl ist.
Das folgt aus $2^{k+1}=\sigma(x)$ zusammen mit $x=2^{k+1}-1$.
Aus $x=2^{k+1}-1$ folgt ja, dass es mindestens die Teiler $1$ und $2^{k+1}-1$ gibt. Also ist $\sigma(x)\geq 2^{k+1}-1+1=s^{k+1}$. Die Gleichheit $\sigma(x)=2^{k+1}$ zeigt dann, dass es keine weiteren Teiler mehr geben kann, also ist $x$ eine Primzahl.

War das verständlich?
 





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mhipp
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Das war verständlicher, ja, danke :-)



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