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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Arithmetisches und geometrisches Mittel
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Kein bestimmter Bereich J * Arithmetisches und geometrisches Mittel
querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Hallo,

hier eine kleine Erweiterung der alten Olympiadeaufgabe 4-151044, die ich im Lösungsthread gesehen habe:

Man ermittle die Anzahl aller ungeordneten Paare (x, y) aus zwei natürlichen Zahlen x, y mit $x\ne y$, für die folgendes gilt!

Das arithmetische Mittel von x und y ist eine ganze Zahl. Schreibt man deren Ziffern in umgekehrter Reihenfolge, so erhält man das geometrische Mittel von x und y (das ist die Zahl $\sqrt{xy}$).

Lösungen mit Beweis bitte als PN an mich. Ich werde die Gewinner Anfang nächster Woche bekannt geben.


Viel Spaß :)



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-22


Für Kurzentschlossene ist noch Zeit: Auflösung in drei Tagen...



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-25


Herzlichen Glückwunsch an

Kitaktus
Aquilex

und danke für's Mitmachen!

Lösung:
Die Grundidee ist, aus einer Basislösung durch Wiederholung der Ziffernfolge beliebig viele neue Lösungen zu erzeugen. Ziffernwiederholung einer s-stelligen Zahl erreicht man durch Multiplikation mit dem Faktor $f=10^s+1$. Multipliziert man x und y mit dem selben Faktor f, dann werden auch AM und GM mit f mulipliert.

Für eine natürliche Zahl n sei $f_n=\sum_{k=0}^n 100^k$. Dann gilt:

\[x_n=32\cdot f_n=3232\dots 32\] \[y_n=98\cdot f_n=9898\dots 98\] \[AM=\frac{x_n+y_n}2=65\cdot f_n=6565\dots 65\] \[GM=\sqrt{x_n\cdot y_n}=56\cdot f_n=5656\dots 56\]
Die Ziffern von AM in umgekehrter Reihenfolge ergeben GM.
Es gibt also unendlich viele Paare $(x_n,y_n)$ mit den geforderten Eigenschaften.


Es würde mich freuen, wenn die beiden Gewinner ihre Lösungen und Ideen hier vorstellen smile

Kitaktus hat sich näher mit dem Problem beschäftigt und er hat mir bereits interessante Eigenschaften von anderen Lösungspaaren mitgeteilt.


LG querin



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-25


Ich schreibe hier schon mal meine Lösungssammlung rein und ergänze später einige Überlegungen.
GM = geometrisches Mittel, AM = arithmetisches Mittel, ggt = größter gemeinsamer Teiler, QA = quadratischer Anteil, BL = Basislösung.
Vielfache von Basislösungen bekommen die selbe Nummer und einen fortlaufenden Buchstaben.

EDIT: Die Bezeichnung "quadratischer Anteil" ist nicht ganz korrekt. Haben a und b _gemeinsame_ Faktoren, die quadratisch auftreten (7605 und 3645 haben z.B. den gemeinsamen Teiler $5\cdot 3^2$), so stecken diese auch im ggT-Anteil. Die Faktoren von a und b, die nicht in beiden Zahlen auftreten, müssen aber quadratisch vorkommen, damit das geometrische Mittel ganzzahlig ist. Diese Faktoren sind in Spalte f und g angegeben.


Ich bekomme die Tabelle leider nicht ohne Scrollen hin.
Tabelle
     |            |           |        c= |       d=  |        e= |    f= |    g= |      h= |      i= |     j=
Nr.  |          a |         b |        GM |       AM  |       ggt | QA(a) | QA(b) |  GM/ggT | 2AM/ggT | Faktor zu BL
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  1  |         98 |        32 |        56 |        65 |         2 |     7 |     4 |      28 |      65 | 
  2  |       7605 |      3645 |      5265 |      5625 |        45 |    13 |     9 |     117 |     250 | 
  1a |       9898 |      3232 |      5656 |      6565 |       202 |     7 |     4 |      28 |      65 |    101
  1b |      98098 |     32032 |     56056 |     65065 |      2002 |     7 |     4 |      28 |      65 |   1001
  3  |      99825 |      1617 |     12705 |     50721 |        33 |    55 |     7 |     385 |    3074 | 
  4  |     116699 |     26411 |     55517 |     71555 |        11 |   103 |    49 |    5047 |   13010 | 
  5  |     130691 |     20339 |     51557 |     75515 |        11 |   109 |    43 |    4687 |   13730 | 
  6  |     144256 |     24334 |     59248 |     84295 |        46 |    56 |    23 |    1288 |    3665 | 
  7  |     749956 |    649636 |    697996 |    699796 |         4 |   433 |   403 |  174499 |  349898 | 
  8  |     887216 |    413996 |    606056 |    650606 |        44 |   142 |    97 |   13774 |   29573 | 
  9  |     944851 |    137275 |    360145 |    541063 |        19 |   223 |    85 |   18955 |   56954 | 
  1c |     980098 |    320032 |    560056 |    650065 |     20002 |     7 |     4 |      28 |      65 |  10001
  1d |     989898 |    323232 |    565656 |    656565 |     20202 |     7 |     4 |      28 |      65 |  10101
  3a |    1098075 |     17787 |    139755 |    557931 |       363 |    55 |     7 |     385 |    3074 |     11
 10  |    1426194 |    192456 |    523908 |    809325 |       594 |    49 |    18 |     882 |    2725 |
 11  |    1608152 |     46592 |    273728 |    827372 |       728 |    47 |     8 |     376 |    2273 |
 12  |    1681317 |    186813 |    560439 |    934065 |    186813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 13  |    3329062 |   2381302 |   2815582 |   2855182 |        22 |   389 |   329 |  127981 |  259562 |
 14  |    6270275 |   5313275 |   5771975 |   5791775 |       275 |   151 |   139 |   20989 |   42122 |
 15  |    6980164 |   2729104 |   4364584 |   4854634 |         4 |  1321 |   826 | 1091146 | 2427317 |
 16  |    7362696 |   6099456 |   6701376 |   6731076 |       264 |   167 |   152 |   25384 |   50993 |
 17  |    8986626 |    287496 |   1607364 |   4637061 |       594 |   123 |    22 |    2706 |   15613 |
 18  |    9278116 |   4227136 |   6262576 |   6752626 |         4 |  1523 |  1028 | 1565644 | 3376313 |
  1e |    9800098 |   3200032 |   5600056 |   6500065 |    200002 |     7 |     4 |      28 |      65 | 100001
 19  |    9928704 |   2329464 |   4809216 |   6129084 |      2424 |    64 |    31 |    1984 |    5057 |
  9a |   10393361 |   1510025 |   3961595 |   5951693 |       209 |   223 |    85 |   18955 |   56954 |     11
 20  |   10457667 |   5079987 |   7288677 |   7768827 |      9603 |    33 |    23 |     759 |    1618 |
 21  |   11593857 |    172425 |   1413885 |   5883141 |      6897 |    41 |     5 |     205 |    1706 |
 22  |   11624624 |   1958924 |   4771976 |   6791774 |        44 |   514 |   211 |  108454 |  308717 |
 23  |   14393874 |   1775136 |   5054808 |   8084505 |        66 |   467 |   164 |   76588 |  244985 |
 24  |   16828317 |   1869813 |   5609439 |   9349065 |   1869813 |     3 |     1 |       3 |      10 | ! siehe 1681317
...
  2a |   76057605 |  36453645 |  52655265 |  56255625 |    450045 |    13 |     9 |     117 |     250 |  10001
  9b |   95429951 |  13864775 |  36374645 |  54647363 |      1919 |   223 |    85 |   18955 |   56954 |    101
  3b |   99924825 |   1618617 |  12717705 |  50771721 |     33033 |    55 |     7 |     385 |    3074 |   1001
 12a | 1682998317 | 186999813 | 560999439 | 934999065 | 186999813 |     3 |     1 |       3 |      10 |   1001
$$a = e\cdot f^2$$ $$b = e\cdot g^2$$ $$c = \sqrt{ab}=e\cdot f \cdot g$$ $$d = \frac{a+b}{2}= e\cdot\frac{f^2+g^2}{2}$$ $$h = f\cdot g$$ $$i = f^2+g^2$$

Eine sehr interessante Teilstruktur:
Tabelle
 12  |    1681317 |    186813 |    560439 |    934065 |    186813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 24  |   16828317 |   1869813 |   5609439 |   9349065 |   1869813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 ??  |  168298317 |  18699813 |  56099439 |  93499065 |  18699813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 12a | 1682998317 | 186999813 | 560999439 | 934999065 | 186999813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 ...



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querin
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Die Tabelle ist sehr aufschlussreich!

Ich hatte nur bemerkt, dass man aus jeder Basislösung $x_0<y_0$ mit s-stelligem $y_0$ durch die Faktoren $\sum_{k=0}^n 10^{s\cdot k}$ (also Ziffernwiederholung) neue Lösungen erzeugen kann. Die Tabelle zeigt aber, dass auch Faktoren dieser Bauart mit kleineren Zehnerpotenzen zu neuen Lösungen führen können (eine Art "verschränkte" Ziffernwiederholung).


2019-06-25 20:42 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine sehr interessante Teilstruktur:
Tabelle
 12  |    1681317 |    186813 |    560439 |    934065 |    186813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 24  |   16828317 |   1869813 |   5609439 |   9349065 |   1869813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 ??  |  168298317 |  18699813 |  56099439 |  93499065 |  18699813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 12a | 1682998317 | 186999813 | 560999439 | 934999065 | 186999813 |     3 |     1 |       3 |      10 |
 ...

Das hat mich besonders überrascht und funktioniert nach einem anderen Bauplan: Anfangs- und Endziffern bleiben gleich, in der Mitte wird eine 9er-Kette aufgebaut.

$(1683,187)$ mit $AM=935$ und $GM=561$ ist offensichtlich keine Basislösung.
Aber mit den Faktoren $f_n=10^n-1=9...9$ für $n\ge3$ (also mindestens 999) erhält man die Lösungen
$x_n=1683\cdot f_n=1682\ 9...9\ 8317$
$y_n=187\cdot f_n=186\ 9...9\ 813$
$AM=935\cdot f_n=934\ 9...9\ 065$
$GM=561\cdot f_n=560\ 9...9\ 439$
wobei die 9er-Kette erst ab $n=5$ bei $x_n$ und $y_n$ sichtbar wird.



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