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Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: Spektrum eines Operators bestimmen
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Universität/Hochschule Funktionalanalysis: Spektrum eines Operators bestimmen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18 21:56


Hallo alle zusammen,

gegeben sei der kompakte Operator $T : \ell^2(\mathbb{C}) \rightarrow \ell^2(\mathbb{C}), (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \left( \frac{x_n}{n+1} \right)_{n \in \mathbb{N}}$. Dass $T$ tatsächlich kompakt, sollte bereits gezeigt werde.

Nach einem Satz aus der Vorlesung ist das Spektrum eines kompakten Operators die Menge der Eigenwerte, verinigt mit $0$. Es sollte auch schoh in dieser Aufgabe explizit gezeigt werden, dass $0 \in \sigma(T)$.

Sei $\lambda \in \mathbb{C}$ EW von $T$, $\lambda \ne 0$.
So, $T(x_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left(\frac{x_n}{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}  \overset{!}{=} \lambda (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \quad [1.1]$.

Kann ich jetzt schon daraus schließen, dass die Menge der Eigenwerte $\frac{1}{n+1}, n \in \mathbb{N}$ beliebig? Die Eigenvektoren sollte ja dann die orthonormale Schauderbasis sein, wobei bei uns in der Vorlesung die natürlichen Zahlen schon ab $n = 0$ starten. Und es kann auch nicht mehr Eigenwerte geben, da sonst die Gleichung $[1.1]$ verletzt wäre. Was meint ihr?


Gruß,
Neymar



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-19 08:19


2019-06-18 21:56 - Neymar im Themenstart schreibt:
Hallo alle zusammen,

gegeben sei der kompakte Operator $T : \ell^2(\mathbb{C}) \rightarrow \ell^2(\mathbb{C}), (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \left( \frac{x_n}{n+1} \right)_{n \in \mathbb{N}}$. Dass $T$ tatsächlich kompakt, sollte bereits gezeigt werde.

Nach einem Satz aus der Vorlesung ist das Spektrum eines kompakten Operators die Menge der Eigenwerte, verinigt mit $0$. Es sollte auch schoh in dieser Aufgabe explizit gezeigt werden, dass $0 \in \sigma(T)$.

Sei $\lambda \in \mathbb{C}$ EW von $T$, $\lambda \ne 0$.
So, $T(x_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left(\frac{x_n}{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}  \overset{!}{=} \lambda (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \quad [1.1]$.

Kann ich jetzt schon daraus schließen, dass die Menge der Eigenwerte $\frac{1}{n+1}, n \in \mathbb{N}$ beliebig?
Na sicher, Du musst es nur ausreichend begründen ...
Die Eigenvektoren sollte ja dann die orthonormale Schauderbasis sein, wobei bei uns in der Vorlesung die natürlichen Zahlen schon ab $n = 0$ starten. Und es kann auch nicht mehr Eigenwerte geben, da sonst die Gleichung $[1.1]$ verletzt wäre. Was meint ihr?


Gruß,
Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19 10:49


(i) Wie würdest du das begründen? Also meine Begründung habe ich ja schon aufgeschrieben: Ich suche mir Eigenvektoren (gerade die Schauderbasis $\{e_n\}$) und zu jedem der Eigenvektoren kann ich den Eigenwert angeben, nämlich gerade $\frac{1}{n+1}$.

Wie kann ich aber zeigen, dass es nicht mehr Eigenvektoren bzw. Eigenwerte geben kann? Also irgendwie finde ich, dass das klar ist ...



Gruß,
Neymar



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-19 21:47


2019-06-19 10:49 - Neymar in Beitrag No. 2 schreibt:
(i) Wie würdest du das begründen? Also meine Begründung habe ich ja schon aufgeschrieben:
Da hast Du völlig recht: ich habe Deinen Text nicht aufmerksam genug gelesen. Man könnte aber ganz vorbildlich sein und es einmal vorrechnen, wenn es für einen Übungszettel ist.

Ich suche mir Eigenvektoren (gerade die Schauderbasis <math>\{e_n\}</math>) und zu jedem der Eigenvektoren kann ich den Eigenwert angeben, nämlich gerade <math>\frac{1}{n+1}</math>.

Wie kann ich aber zeigen, dass es nicht mehr Eigenvektoren bzw. Eigenwerte geben kann? Also irgendwie finde ich, dass das klar ist ...



Gruß,
Neymar
Tja, "irgendwie ist das doch klar" ist immer sehr verdächtig und gerade solche Aussagen sollte man versuchen ganz genau zu beweisen. Ich fange mal an: Sei <math>v</math> ein Eigenvektor von <math>T</math> zum Eigenwert <math>\lambda</math>. Dann folgt für alle <math>n</math>, dass <math>(\frac{1}{n+1}-\lambda) v_{n}=0</math>. Da <math>v\neq 0</math> gilt, gibt es einen Index <math>m</math> mit <math>v_{m}\neq 0</math>. Dann folgt.... Überlege Dir auch, was die Gleichung für <math>n\neq m</math> bedeutet.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20 11:04


Du hast Recht, ein Beweis ist besser. Also wir hatten uns gestern Folgendes überlegt: Sei die Folge $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ Eigenvektor von $T$ zum Eigenwert $\lambda$, i.e. $(T - \lambda \text{id}_{\ell^2})(x_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0 \Leftrightarrow \left( x_n \cdot \left( \frac{1}{n+1} - \lambda\right) \right)_{n \in \mathbb{N}} = 0 $

Nun haben wir gestern (in der Lerngruppe) gesagt, dass daraus schon $\frac{1}{n+1} - \lambda = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ folgt.
Mittlerweile bin ich skeptisch, da es ja sein könnte, dass unser Eigenvektor z. B. so aussieht: $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \equiv \left(0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, \dots \right)$. Glaubst du, man kann das noch retten?

Anyway, zu deinem Post: Okay, du bezeichnest mit $v_n$ bzw. $v_m$ jeweils ein Folgen$glied$. Da $v_m \ne 0 \Rightarrow \frac{1}{m+1} - \lambda \overset{!}{=} 0$. Damit haben wir also ganz sicher einen Eigenwert gefunden. Wenn $n \ne m$, dann kann es natürlich dennoch sein, dass $v_n \ne 0$. Falls aber $v_n = 0$, dann gilt auf jeden Fall schon $(\frac{1}{n+1} - \lambda)v_n = 0$. Was mir das wirklich sagt, weiß ich nicht.



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-20 21:26


2019-06-20 11:04 - Neymar in Beitrag No. 4 schreibt:
Du hast Recht, ein Beweis ist besser. Also wir hatten uns gestern Folgendes überlegt: Sei die Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> Eigenvektor von <math>T</math> zum Eigenwert <math>\lambda</math>, i.e. <math>(T - \lambda \text{id}_{\ell^2})(x_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0 \Leftrightarrow \left( x_n \cdot \left( \frac{1}{n+1} - \lambda\right) \right)_{n \in \mathbb{N}} = 0 </math>

Nun haben wir gestern (in der Lerngruppe) gesagt, dass daraus schon <math>\frac{1}{n+1} - \lambda = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}</math> folgt.
Dann wäre <math>\lambda= \frac{1}{1+1}= \frac{1}{2+1}= \frac{1}{3+1}=\ldots</math>?!


Mittlerweile bin ich skeptisch, da es ja sein könnte, dass unser Eigenvektor z. B. so aussieht: <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \equiv \left(0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, \dots \right)</math>. Glaubst du, man kann das noch retten?

Anyway, zu deinem Post: Okay, du bezeichnest mit <math>v_n</math> bzw. <math>v_m</math> jeweils ein Folgen<math>glied</math>. Da <math>v_m \ne 0 \Rightarrow \frac{1}{m+1} - \lambda \overset{!}{=} 0</math>. Damit haben wir also ganz sicher einen Eigenwert gefunden.
In aller Deutlichkeit: weil <math>v_{m}\neq 0</math> ist, gilt <math>\lambda= \frac{1}{m+1}</math>. Damit ist bestätigt, dass als Eigenwerte nur die von Dir genannten Brüche in Frage kommen.

Mit Deinen Überlegungen aus dem Ausgangspost ergibt sich nun, dass die Menge der Eigenwerte genau aus diesen Br\"uchen besteht.

 Wenn <math>n \ne m</math>, dann kann es natürlich dennoch sein, dass <math>v_n \ne 0</math>. Falls aber <math>v_n = 0</math>, dann gilt auf jeden Fall schon <math>(\frac{1}{n+1} - \lambda)v_n = 0</math>. Was mir das wirklich sagt, weiß ich nicht.
O.K. hier habe ich wieder nicht genau gelesen: ich dachte Du wärst auch an der Bestimmung der Eigenvektoren interessiert:
Wenn <math>n\neq m</math> folgt wegen <math>\lambda= \frac{1}{m+1}</math> aus <math>(\frac{1}{n+1} - \lambda)v_n = 0</math>, dass <math>v_{n}=0</math> ist, denn die Klammer ist <math>\neq 0</math>. Folglich ist <math>v</math> ein Vielfaches von <math>e_{m}</math>.

Übrigens geht das alles auch viel einfacher: wenn Du schon eine Basis aus Eigenvektoren gefunden hast, dann kann es schon Orthogonalitätsgründen keinen weiteren Eigenwert geben.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20 22:19


Übrigens geht das alles auch viel einfacher: wenn Du schon eine Basis aus Eigenvektoren gefunden hast, dann kann es schon Orthogonalitätsgründen keinen weiteren Eigenwert geben.

$>$ Gilt das auch, wenn wir eine Basis haben, die keine Basis im Sinne der linearen Algebra ist, welche man also \mathbf{Hamel-Basis} nennen würde?

Ich verstehe es folgendermaßen: Da wir einen $\mathbf{selbstadjungierten}$ Operator vorliegen haben, sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander. Gäbe es also einen weiteren Eigenvektor mit einem weiteren EW, der noch nicht durch unsere bisherigen Überlegungen erfasst wurde, z.B. der Form $\left( 0, 0, 0, 1, 1, 1, \dots \right)$, so müsste dieser auch zu den  EV $e_3$, $e_4$ und  $e_5$  orthogonal stehen, was aber auf gar kein Fall so ist. Da wir eine orthonormale Schauderbasis vorliegen haben, kann jede Folge $\in \ell^2$ als (i.A. unendliche) der $\{e_i\}$ dargestellt werden.

(Für nicht-selbstadjungierte Operatoren stimmt deine Behauptung nicht mehr, oder? Falls doch: Würdest du mir erklären, warum?)


Gruß,
Neymar



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