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Physik » Schwingungen und Wellen » Wellengleichung anschauliche Bedeutung
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Universität/Hochschule J Wellengleichung anschauliche Bedeutung
Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Hallo,
im Demtröder wurde die Wellengleichung als folgende partielle DGL definiert:
$$\Delta \overrightarrow{\xi} = \frac{1}{v} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \overrightarrow{\xi}$$
wie kann man die DGL anschaulich deuten? Ich hatte überlegt $\frac{\partial ^2}{\partial t^2} \overrightarrow{\xi}$ als Beschleunigung zu deuten, aber viel hat das nicht gebracht.

Danke im Voraus.

Grüße,
h


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-19

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Hallo Wirkungsquantum,

um die Gleichung anschaulich zu verstehen, lohnt es sich, erst mal eine "diskrete" Welle zu betrachten. Also eine Welle, die nicht an jedem Punkt eine Auslenkung hat, sondern nur an einzelnen Stellen. Betrachte zum Beispiel dieses Bild.

Dort siehst du drei über Federn aneinander gekoppelte Massen. Stelle dir der Einfachheit halber vor, dass ihre horizontale Position auf irgendeine Art fixiert ist, sodass sie sich nur auf- und abbewegen können, auch wenn die Federn sie zur Seite ziehen.
Wenn wir uns jetzt die Bilder anschauen, dann stellen wir fest:

Liegen alle drei Massen in einer waagrechten Linie, so wirkt auf die mittlere Masse keine Kraft, da deren Federn nicht ausgelenkt sind (Zeile 1).
Liegt die linke Masse genausoweit über der mittleren Masse, wie die rechte Masse darunter liegt, dann wirkt ebenfalls keine Kraft, denn die linke Masse zieht die mittlere genauso stark nach oben, wie die rechte sie nach unten zieht (Zeile 2).

Also allgemein: Wenn benachbarte Massen in einer Linie liegen, dann wird die mittlere Masse nicht beschleunigt.
Liegen sie aber nicht in einer Linie, zum Beispiel weil die linke und rechte Masse beide über der mittleren sind, dann ziehen beide Nachbarn die mittlere Masse nach oben.
Allgemein: Liegen drei benachbarte Massen nicht auf einer Linie, so wird die mittlere Masse beschleunigt. Je "krummer" die Verbindung zwischen den drei Massen, desto stärker wird die mittlere beschleunigt. Das heißt, die Beschleunigung der Auslenkung hängt von der Krümmung des Systems ab:

\[\frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi\propto K\]
mit der "Krümmung" $K$.

In unserem diskreten Fall ist die Krümmung $K=\xi_\mathrm l-2\xi_\mathrm m+\xi_\mathrm r$, wobei $\xi_\mathrm{l/m/r}$ die Auslenkung der linken/mittleren/rechten Masse ist. Das kann man sich herleiten, wenn man einfach die Bewegungsgleichung für die mittlere Masse aufstellt.
Und wahrscheinlich bist du inzwischen schon selber drauf gekommen, aber im Kontinuum ist die Krümmung einfach die zweite Ortsableitung:

\[K=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\xi.\]
Und im mehrdimensionalen Kontinuum schließlich der Laplace-Operator:

\[K=\Delta\xi.\]
Damit erhält man also

\[\frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi\propto\Delta\xi.\]
Der Proportionalitätsfaktor $\frac{1}{v^2}$ hängt dann einfach vom Medium ab. Im diskreten Beispiel von oben hängt er von der Federkonstante der koppelnden Federn ab.

Übrigens: die Krümmung im diskreten Fall ist gerade der zentrale Differenzenquotient der zweiten Ableitung: $\frac{\xi(x-h)-2\xi(x)+\xi(x+h)}{h^2}$ mit $h=1$. Im Kontinuumsgrenzfall wird der Ausdruck also auf natürliche Weise zur zweiten Ableitung.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung, das klingt plausibel. Dann drückt also die Wellengleichung grob gesagt aus, dass die Beschleunigung proportional zur Krümmung (der Welle) ist?


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-20


Genau das tut sie.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-22


Verstehe, vielen Dank für die Hilfe smile


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Wirkungsquantum hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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