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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Wie sieht die lineare Abbildung f := LÂ,A,B aus
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Universität/Hochschule Wie sieht die lineare Abbildung f := LÂ,A,B aus
JayVD
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  Themenstart: 2019-06-19

Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Hat jemand einen Lösungsvorschlag oder ein Tipp, wäre super toll! lg Jay Betrachtet wird die Matrix  := (2,1,1,-1;2,1,1,-1;0,0,0,4;4,0,3,-1;6,-3,6,0) und die lineare Abbildung f := LÂ,A,B : R4 →R5 mit A und B die Standardbasen von \IR^4 und \IR^5. Problem: Wie sieht denn jetzt die lineare Abbildung f := LÂ,A,B aus? Mein Ansatz: Ich kann die Standardbasisvektoren von \IR^4 nach \IR^5 abbilden, da die Abb. linear ist habe ich dann auch direkt einen Vektor (x1,x2,x3,x4)=x1*e1+x2*e2+x3*e3+x4*e4 auf \IR^5 abgebildet. Also die Standardbasisvektoren von \IR^4 sind doch (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) und (0,0,0,1) und die bilde ich jetzt auf die einzelnen Spaltenvektoren von der Matrix  ab? Also (2,1,1,-2)=2*1+1*0+1*0+-1*0 = 2 (2,1,1,-2)=2*0+1*1+1*0+-1+*0 = 1 ... = 1 ... =-1 So würde aber doch die selbe Matrix raus kommen, nur halt das die Zeilenvektoren jetzt die Spaltenvektoren sind. Ist das richtig so?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-19

Hallo, \quoteon(2019-06-19 08:57 - JayVD im Themenstart) Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. \quoteoff Das ist hier im Forum durchaus üblich. Aber: \quoteon(2019-06-19 08:57 - JayVD im Themenstart) Problem: Wie sieht denn jetzt die lineare Abbildung f := LÂ,A,B aus? \quoteoff Außer obigem Satz sehe ich weder eine Aufgaben- noch eine Problembeschreibung. Dein Anliegen ist in dieser Form - zumindest für mich - unverständlich. Könntest du bitte die Aufgabe im Originalwortlaut posten und deine Abbildungsmatrix nochmal überprüfen (die beiden obersten Zeilen sind identisch, das könnte Absicht sein, oder falsch abgetippt?). Gruß, Diophant


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ligning
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-19

Ich denke, es ist nach der linearen Abbildung $f:\IR^4\to\IR^5$ gefragt, deren Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasen gerade $\hat A$ ist. \quoteon So würde aber doch die selbe Matrix raus kommen, nur halt das die Zeilenvektoren jetzt die Spaltenvektoren sind. \quoteoff Es soll überhaupt keine Matrix rauskommen, sondern eine lineare Abbildung. Schlage nach, wie die Abbildungsmatrix definiert ist und mach dich ans Werk. Hier noch mehr Hilfe zu geben würde dir den Aha-Effekt kaputtmachen.


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JayVD
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19

Also die Aufgabe lautet: Betrachtet wird die Matrix  := (2,1,1,-1;2,1,1,-1;0,0,0,4;4,0,3,-1;6,-3,6,0) und die lineare Abbildung f := L_Â,A,B : \IR^4 -> \IR^5 mit A und B die Standartbasen von \IR^4 und \IR^5 . (I) Bestimmen Sie rk(Â) und eine Basis des Untervektorraums R(Â) \subsetequal\ \IR^4. (II) Bestimmen Sie rk(f) und eine Basis des Untervektorraums im(f) \subsetequal\ \IR^5 Die (I) habe ich fertig, bei der (II) habe ich jemanden der gesagt hat es wäre die selbe Aufgabe nur anders formuliert, jemand anderes sagte nein, es ist ja eine lin. Abbildung und keine Matrix mehr. Ich weis nicht was ich mit der Matrix  anfangen soll. Mit einer Abbildungsvorschrift (2x-3y, x+z, 2z-1y) beispielsweise wüsste ich wie es geht. Soll ich hier die Basisvektoren von \IR^4 auf \IR^5 abbilden, also die Basisvektoren von A auf die Vektoren von Â?


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-19

Schlag doch bitte einfach nach, wie die Abbildungsmatrix definiert ist und lass dir nicht alles vorkauen.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) Hallo, \quoteon(2019-06-19 17:35 - JayVD in Beitrag No. 3) Also die Aufgabe lautet: Betrachtet wird die Matrix  := (2,1,1,-1;2,1,1,-1;0,0,0,4;4,0,3,-1;6,-3,6,0) und die lineare Abbildung f := L_Â,A,B : \IR^4 -> \IR^5 mit A und B die Standartbasen von \IR^4 und \IR^5 . (I) Bestimmen Sie rk(Â) und eine Basis des Untervektorraums R(Â) \subsetequal\ \IR^4. (II) Bestimmen Sie rk(f) und eine Basis des Untervektorraums im(f) \subsetequal\ \IR^5 Die (I) habe ich fertig, \quoteoff Gut. Warum hast du dann aber deine Vorgehensweise samt Resultat nicht mit angegeben, das gehört zu einer zielführenden Bearbeitung von Uniaufgaben hier im Forum unbedingt dazu! \quoteon(2019-06-19 17:35 - JayVD in Beitrag No. 3) bei der (II) habe ich jemanden der gesagt hat es wäre die selbe Aufgabe nur anders formuliert, jemand anderes sagte nein, es ist ja eine lin. Abbildung und keine Matrix mehr. Ich weis nicht was ich mit der Matrix  anfangen soll. Mit einer Abbildungsvorschrift (2x-3y, x+z, 2z-1y) beispielsweise wüsste ich wie es geht. \quoteoff Baldmöglichst solltest du mal die Grundlagen des Themas der Linearen Abbildungen studieren, dann stellen sich solche Fragen eigentlich nicht. \quoteon(2019-06-19 17:35 - JayVD in Beitrag No. 3) Soll ich hier die Basisvektoren von \IR^4 auf \IR^5 abbilden, also die Basisvektoren von A auf die Vektoren von Â? \quoteoff Schwer zu verstehen, was du hier meinst. Das mit den Basisvektoren des \(\IR^4\) ist eine gute Idee, was genau du jetzt mit denen vorhast, habe ich nicht verstanden. Jede reelle (bzw. komplexe) Matrix lässt sich als lineare Abbildung auffassen. Die Abbildung geschieht dabei für einen Vektor x aus der Urbild- und einen Vektor y aus der Bildmenge mit Hilfe der Matrizenmultiplikation: \[f:\quad y=A\cdot x\] Gehe mal folgendes in Gedanken durch: die obige Rechnung, mit jedem der vier Basisvektoren durchgeführt, würde was liefern? Jetzt gehe einen Schritt weiter (auch wieder nur als Überlegung): multipliziere die Matrix \(\hat{A}\) mit der Einheitsmatrix des \(\IR^4\), was wird da wohl das Resultat sein? Führe letztere Rechnung zur Sicherheit einmal durch, sage dreimal laut "Aha" und entscheide dann, welcher deiner Bekannten recht hatte. Jetzt überlege als letztes, ob du der Matrix \(\hat{A}\) am Ende sogar einen Satz Basisvektoren des Bilds von \(f\) entnehmen kannst... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)


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JayVD
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20

Es kommt wieder Matrix  raus. Ich wusste das wenn man eine Matrix wie diese mit der Einheitsmatrix Multipliziert, das sich nichts verändert. Nur war mir wohl nicht klar, dass ich genau das machen soll. Und ich kann ebenso die erste Zeile weg lassen, da diese analog zur zweiten ist und sich bei der Rangberechnung als Nullen schreiben lässt. Vielen vielen Dank!


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) Hallo, der Rang ist immer noch nicht geklärt. Ich hoffe du hast nicht einfach die eine Zeile weggelassen und fertig. Es gilt hier \[rang\left(\hat{A}\right)=rang(f)=3\] Und was sind nun deine Basisvektoren für \(im(f)\)? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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ligning
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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-20

\quoteon(2019-06-20 10:27 - JayVD in Beitrag No. 6) Es kommt wieder Matrix  raus. \quoteoff Es kommt überhaupt keine Matrix raus, sondern eine Abbildung. Hatte ich schonmal geschrieben, hast du wohl ignoriert.


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JayVD
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20

Nein, das ist nur unter gegangen, ja ich meine natürlich die Abbildung und nicht eine Matrix. Habe den Rang 3 raus genau. (2,1,1,-1;0,-2,1,1;0,0,0,4;0,0,0,0;0,0,0,0) mit dem Gaus-Eleminationsverfahren. Demnach wären die Basisvektoren des im(f)\subsetequal\ \IR^5 die drei lin. unabhängigen Vektoren, also die ersten drei. Die Basis sollte also (2,1,1,-1;0,-2,1,1;0,0,0,4) sein.


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) Hallo, das mit deinen Basisvektoren ist Nonsens. Insbesondere sollten diese Basisvektoren aus dem \(\IR^5\) sein. Schau mal deine Aufgabe dahingehend nochmal scharf an, ob dir irgendwo 5-dimensionale Vektoren begegnen, wenn ja wo und wie viele. Dann überlege dir, weshalb sie als Basisvektoren infrage kommen. Tipp: es sind genau vier aus denen du drei geeignete auswählen musst. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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