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Mathematik » Stochastik und Statistik » Faltung ist unterhalbstetig?
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Universität/Hochschule Faltung ist unterhalbstetig?
Faik95
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-19


Es seien $X_1$ und $X_2$ zwei unabhängige Kopien der nicht-negativen Zufallsvariable $X$ mit $\lambda^1$-Dichte $f:\mathbb{R} \rightarrow [ \, 0, +\infty \, ] $.

Bezeichne mit $\psi$ die Faltung von $X_1$ und $-X_2$, sprich $$ \psi(x) = \int_{0}^{\infty} f(x+y)f(y) \; dy $$ für alle $x \in \, (-\infty, \infty)$.

Ich möchte einsehen, dass $\psi$ unterhalbstetig auf $(-\infty, \infty)$ ist; im dazugehörigen Paper steht lediglich, man solle das Lemma von Fatou und die Messbarkeit von $f$ ausnutzen. Leider sehe ich nicht, wie hier nur Messbarkeit ausreichen soll für den Beweis. Könnte jemand ggf. helfen, oder einen weiteren gedanklichen Anstoß liefern?

Kleine Erinnerung:

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $f: X \rightarrow \mathbb{R} \, \cup \,\{-\infty, \infty \}$ eine numerische Funktion. Dann sagen wir, $f$ ist unterhalbstetig in $x_0$ genau dann, wenn $ f(x_0) \leq \liminf\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$.

Hier ist die Passage mit Beweis aus dem Paper:







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