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Analysis » Topologie » Abgeschlossenheit
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Universität/Hochschule Abgeschlossenheit
MatheAthlet
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.06.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-19


Hallo, ich hänge gerade an einer Aufgabe und weiß leider so gar nicht wie ich weiter kommen soll. Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen.

Zeige, dass eine Teilmenge A Teilmenge von V eines endlich dimensionalen, normierten K-Vektorraum genau dann abgeschlossen ist, wenn für alle in V konvergenten Folgen (x_n) mit x_n aus A für alle n aus den natürlichen Zahlen lim (n-> unendlich) x_n aus A gilt.

Vielen Dank schon mal



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2248
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-19


Hallo,

diese Aussage gilt allgemein für alle topologischen (insbesondere metrische) Räume und wird daher auch manchmal als Definition für Abgeschlossenheit verwendet. [<--- Das ist Unsinn. Dies gilt nicht für allgemeine topologische Räume.]

Wie habt ihr Abgeschlossenheit definiert?
Vermutlich nennt ihr dann eine Menge $A$ abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.

Die Beweise der beiden Richtungen sind nicht so schwer.

Du möchtest dann ja zeigen:

I) $A$ ist abgeschlossen genau dann wenn,

II) $U=X\setminus A$ offen.

Für $II)\Rightarrow I)$

Kannst du einen Widerspruchsbeweis probieren.
Nimm eine konvergente Folge $(a_k)$ mit Grenzwert $a$ und nimm an, dass $a\in U$.
Führe dies zu einem Widerspruch. Wiederhole dazu noch einmal die Definition der Konvergenz.

Für $I)\Rightarrow II)$ empfiehlt sich die Kontraposition

$\neg II)\Rightarrow \neg I)$ zu zeigen.

Wiederhole dazu was Offenheit (in metrischen Räumen) bedeutet (hier benutzt du dann eben, die Negation also 'nicht offen') und benutze dies um eine Folge zu konstruieren, die nicht konvergiert.



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MatheAthlet
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Dabei seit: 19.06.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Danke erstmal. Dann versuche ich das mal so

=> Sei (x_n) eine konvergente Folge mit Grenzwert a.
Dann gilt | x_n - a | < epsilon
Annahme: lim x_n  liegt nicht in A
Also liegt lim x_n auch nicht in V, da A Teilmenge von V ist
Daher ist V nicht abgeschlossen



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-19


2019-06-19 20:37 - MatheAthlet in Beitrag No. 2 schreibt:
Also liegt lim x_n auch nicht in V, da A Teilmenge von V ist
Hi MatheAthlet,
diese Schlußfolgerung ist leider falsch (die Inklusion ist falschherum).
Gruß Buri



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MatheAthlet
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Dabei seit: 19.06.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Oh okay. Könntest du mir eventuell weiterhelfen, wie ich das zeigen kann?
Die Definition von Konvergenz ist mir klar, aber ich weiß nicht, wie ich damit meine Aufgabe beweisen kann



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Shaqrament
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Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 29
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-19


Lieber MatheAthlet,

deine Folgerung ist so nicht korrekt. Sehr wohl kann <math>a</math> nämlich in <math>V\setminus A</math>, also in <math>V</math> liegen. Dass jede konvergente Folge auch einen Grenzwert in <math>A</math> hat, kann man beispielsweise so zeigen: Angenommen dies wäre nicht der Fall, d.h. es gibt eine Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A</math> mit <math>\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=:a\in V\setminus A</math>. Da <math>V\setminus A</math> nach Voraussetzung offen ist, kann man nun ein <math>\varepsilon>0</math> finden, sodass

          <math>B:=\lbrace x\in V:\lVert x-a\rVert<\varepsilon\rbrace\subseteq V\setminus A</math>

gilt. Mit der Konvergenz von <math>a_n</math> gibt es insbesondere ein <math>N</math> mit <math>\lVert a_n-a\rVert<\varepsilon</math> für alle <math>n>N</math>, d.h. für ausreichend große <math>n</math> liegt <math>a_n</math> in <math>B</math>, was nach Voraussetzung in <math>V\setminus A</math> erhalten ist. Aber damit verläuft <math>a_n</math> irgendwann nicht mehr in <math>A</math>. Widerspruch zur Annahme!

Die Rückrichtung zeigst du, wie bereits von PrinzessinEinhorn erwähnt, durch Kontraposition. Du kannst dich dabei ähnlicher Techniken wie oben bedienen.

Viele Grüße


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Vielen Dank :)

Also muss ich für die Rückrichtung folgendes zeigen

U ist nicht offen, dann folgt A ist nicht abgeschlossen.

Da V \ A nicht offen ist, existiert kein Epsilon > 0, mit

B = {x aus V : ||x - a|| < Epsilon} Teilmenge V \ A

Damit müsste ich dann noch zeigen, dass A nicht abgeschlossen ist



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Shaqrament
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-19


So ziemlich, ja. Nimmst du <math>A</math> als nicht abgeschlossen an, gibt es eben einen Punkt <math>a\in V\setminus A</math>, der über keine <math>\varepsilon</math>-Umgebung in <math>V\setminus A</math> verfügt, wie du es bereits beschrieben hast. Versuche zu begründen, warum es Punkte in <math>A</math> gibt, die beliebig nah an <math>a</math> liegen, fasse diese zu einer Folge zusammen und du bist so gut wie fertig.
Viele Grüße



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Da A ja nicht abgeschlossen, also offen ist, kann man ja immer eine beliebig große Epsilon-Umgebung um a finden, die dann aber noch in A liegt.



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23


Hy, kann mir einer von euch vielleicht nochmal dabei helfen, wie ich die Rückrichtung jetzt noch formal richtig aufschreiben muss?
Der Gedanke ist mir klar, aber weiß noch nicht wie ich den Beweis richtig schreibe



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