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Mathematik » Stochastik und Statistik » Markov Prozess und nicht-deterministische Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Markov Prozess und nicht-deterministische Zufallsvariablen
kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-20


Liebe Mitglieder,

Angenommen $Z_1$ und $Z_2$ sind nicht-deterministische Zufallsvariablen und sei ein Prozess definiert durch $(X_t)_{t≥0}$ mit $X_t = Z_1 cos(t)+ Z_2 sin(t)$. Wie zeige ich, dass das kein Markov Prozess ist? Bzw. wieso ist dies kein Markov Prozess?

Liebe Grüße, KingDingeling



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20


Wenn $(X_t)$ ein Markow-Prozess wäre, müsste für $t>t_1>t_2$ gelten:$$ P(X_t\in A\mid X_{t_1}=x_1,X_{t_2}=x_2) =
P(X_t\in A\mid X_{t_1}=x_1)
$$Jetzt betrachte $t=\frac34\pi$, $t_1=\frac12\pi$, $t_2=0$ und überprüfe die Bedingung.



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kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Ok, ich denke ich verstehe was du meinst. Angenommen $f(t)=a cos(t) + b sin(t)$ für $a,b \in \mathbb{R}$. Haben wir ein $f(t_1)$ gegeben für ein $t_1$>0 dann kann man nicht wirklich ein $f(t_2)$ angeben für $t_2 > t_1$ oder? Und die von dir angegebene Bedingung ist nicht erfüllt für deine angegebenen Werte nicht wahr? D.h. wir haben ein Gegenbeispiel und damit ein Widerspruch zur annahme gehe ich von aus.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-21


2019-06-21 10:35 - kingdingeling in Beitrag No. 2 schreibt:
Haben wir ein $f(t_1)$ gegeben für ein $t_1$>0 dann kann man nicht wirklich ein $f(t_2)$ angeben für $t_2 > t_1$ oder?

Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst.

Worauf ich hinaus wollte, ist: Für einen Markow-Prozess würde die Kenntnis von $X_{t_2}$ keine zusätzlichen Informationen mehr liefern, wenn man $X_{t_1}$ für ein $t_1>t_2$ schon kennt.

Für die von mir angegebenen Zeiten wäre aber$$ X_{t}=\frac1{\sqrt2}(Z_2-Z_1) \;,\quad
X_{t_1}=Z_2 \;,\quad
X_{t_2}=Z_1
$$Da man mit der Kenntnis von $X_{t_2}$ und $X_{t_1}$ den Wert $X_t$ vorhersagen kann, während das mit der Kenntnis von $X_{t_1}$ allein nicht möglich ist, liefert die Kenntnis von $X_{t_2}$ zusätzliche Informationen.



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kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


2019-06-21 10:48 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
2019-06-21 10:35 - kingdingeling in Beitrag No. 2 schreibt:
Haben wir ein $f(t_1)$ gegeben für ein $t_1$>0 dann kann man nicht wirklich ein $f(t_2)$ angeben für $t_2 > t_1$ oder?

Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst.

Worauf ich hinaus wollte, ist: Für einen Markow-Prozess würde die Kenntnis von $X_{t_2}$ keine zusätzlichen Informationen mehr liefern, wenn man $X_{t_1}$ für ein $t_1>t_2$ schon kennt.

Für die von mir angegebenen Zeiten wäre aber$$ X_{t}=\frac1{\sqrt2}(Z_2-Z_1) \;,\quad
X_{t_1}=Z_2 \;,\quad
X_{t_2}=Z_1
$$Da man mit der Kenntnis von $X_{t_2}$ und $X_{t_1}$ den Wert $X_t$ vorhersagen kann, während das mit der Kenntnis von $X_{t_1}$ allein nicht möglich ist, liefert die Kenntnis von $X_{t_2}$ zusätzliche Informationen.

Danke für deine Geduld und Hilfe, allerdings verstehe ich nicht wie das im Zusammenhang mit $$ P(X_t\in A\mid X_{t_1}=x_1,X_{t_2}=x_2) =
P(X_t\in A\mid X_{t_1}=x_1)
$$ steht, wie du im 1. Beitrag erwähnt hast?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-21


Huhu Kingdingeling,

angenommen, Du kennst $X_{t_1}=x_1$ und $X_{t_2}=x_2$, dann ist dir doch $X_t$ für alle $t$ bekannt! Schreibe Dir das ruhig einmal auf, das hilft.

Kennst Du dagegen nur $X_{t_1}=x_1$, so weisst Du schlicht gar nichts über $Z_1$ und damit auch nicht viel über $X_t$.

lg, AK.



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