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Analysis » Funktionalanalysis » Gleichmäßiger Abschluss einer Algebra
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Universität/Hochschule J Gleichmäßiger Abschluss einer Algebra
Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-20


Hallo Community

Ich sitze gerade an einem Theorem, dessen Beweis ich nicht ganz verstehe:



Dies sind die verwendeten Definitionen:



Und dies ist der durchgeführte Beweis:



Den Nachweis, dass es eine Algebra ist, verstehe ich. Mir ist auch irgendwo klar, dass die Funktionenfolge $g_{n,m}$ gegen $f$ gleichmäßig konvergiert. Im gleichmäßigen Abschluss $B$ sind nach Definition alle Grenzwerte gleichmäßiger Funktionen aus $A$. Da $f$ nun der Grenzwert von $g_{n,m}$, liegt $f$ somit in $B$.

Was mir nicht klar ist/Fragen:

1) Warum kann ich sagen, dass es Funktionenfolgen $\left(f_n\right)_{n\in \mathbb{N}} \in B$ gibt, so dass sie gleichmäßig gegen $f$ konvergieren?

2) Die Ungleichungen. Genauer, warum sie $\leq \frac{1}{n}$ sein sollen.

Ich hoffe, jemand kann mir bei diesen Unklarheiten helfen  😵




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20

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Hallo Distance,

1) Das kannst du tatsächlich nicht sagen. Aber das macht nichts. Mann will ja zeigen, dass wenn es eine Folge $\{f_n\}\subset B$ gibt, die glm. gegen $f$ konvergiert, dann $f\in B$ ist. Wenn eine solche Folge nicht existiert, dann ist $f$ nicht relevant für glm. Abgeschlossenheit.

2) $\frac{1}{n}$ ist willkürlich gewählt. Es hätte auch eine beliebige andere Nullfolge auf der rechten Seite stehen können. Oder man hätte schreiben können, dass für alle $\varepsilon>0$ ein $m$ existiert, sodass $\vert g_{n,i}(x)-f_n(x)\vert\leq\varepsilon$ für alle $i\geq m$ und alle $x\in E$. Wenn das für alle $\varepsilon>0$ gilt, dann natürlich auch für $\frac{1}{n}$ mit beliebigem $n\in \N$. Und wenn es für $\frac{1}{n}$ gilt, dann auch für jedes $\varepsilon>0$, denn zu jedem $\varepsilon>0$ existiert ein $n$, sodass $\frac{1}{n}\leq\varepsilon$.
Die Ungleichung mit dem $\frac{1}{n}$ ist also äquivalent zur Definition der glm. Konvergenz über das $\varepsilon$-Kriterium.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Vielen Dank für deine Antwort, Vercassivelaunos :)

Zu 2) Achsoooo. Dann verstehe ich es. Das $\frac{1}{n}$ hat mich verwirrt, da ich das so eher selten gesehen habe.

Zu 1) Oh, dann hatte ich es falschrum gelesen gehabt. Was gezeigt wird ist also, dass wenn eine Funktionenfolge gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, dann ist der Grenzwert in der gleichen Algebra wie die Funktionenfolge.

\(\textbf{Also ist es so gemeint?}\)

Wenn $\{f_n\}$ eine Funktionenfolge in $B$ ist, die gleichmäßig gegen eine Funktion $f$ konvergiert. Dann liegt $f$ ebenfalls in  $B$.

Für jedes $n\in \mathbb{N}$ ist $f_n\in B$. Daher existiert für jedes $n\in \mathbb{N}$ eine Funktionenfolge $\{g_{n,i}\}$ in $A$, so dass $g_{n,i}\rightarrow f_n$ gleichmäßig. Also existiert eine natürliche Zahl $m$, so dass für alle $i\geq m$ die Beziehung $\left| g_{n,i}\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|<\epsilon$ für alle $x\in E$ gilt.

Insbesondere gilt für jedes $n\in \mathbb{N}$ also $\parallel g_{n,m}-f_n\parallel_{\infty} < \epsilon$.

Da für $n\rightarrow \infty$  $f_n \rightarrow f$ folgt durch $\parallel g_{n,m}-f_n\parallel_{\infty} < \epsilon$, dass auch $g_{n,m}\rightarrow f$. Damit ist $f$ Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge aus $A$ und liegt somit im gleichmäßigen Abschluss $B$, also $f\in B$.

Trifft das den Gedanken des Beweises?

Gruß
Distance



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-20

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Wenn du noch bei den ersten beiden $g_{n,m}$ das $m$ durch $i$ ersetzt, dann ist das so genau richtig. Es ist $\lim_{i\to\infty}g_{n,i}=f_n$ (gleichmäßig). Und dann wird aus jeder Folge $(g_{n,i})_i$ ein Element $g_{n,m}$ ausgewählt. Diese Elemente $g_{n,m}$ bilden jetzt eine Folge in $n$, und diese konvergiert gegen $f$.
\(\endgroup\)


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Habe es an den entsprechenden Stellen korrigiert :)

Du hast mir damit extrem geholfen.

Vielen Dank, Vercassivelaunos :)



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Distance hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Distance hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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